CONSIGNES :
- Épreuve : Mathématiques — Filières : SMA - SMB.
- Coefficient : 9.
- Durée : 4 heures.
- Examen National du Baccalauréat — Session ordinaire — Juin 2008.
- Exercice 1 : Algèbre / Matrices — (03,25 pts)
- Exercice 2 : Nombres complexes — (03,75 pts)
- Exercice 3 : Arithmétique — (03,00 pts)
- Exercice 4 : Analyse — (10,00 pts)
Exercice 1 : (03,25 points)
Rappel :
\((\mathbb{R},+,\times)\) est un corps commutatif : \(0_{\mathbb{R}}=0\) ; \(1_{\mathbb{R}}=1\).
\((M_2(\mathbb{R}),+,\times)\) est un anneau unitaire :
\(
\theta=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\ ;\quad
I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\)
\((M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
Soit :
\[
E=\left\{\,M(a,b)=
\begin{pmatrix}
a & \sqrt{3}\,b\\[2pt]
-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,b & a
\end{pmatrix}
\ ;\ (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\}
\quad;\quad
J=
\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{3}\\[2pt]
-\dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0
\end{pmatrix}.
\]
Soit l’application définie ainsi (avec \(E^*=E\setminus\{M(0,0)\}\)) :
\[
\varphi:\ (\mathbb{C}^*,\times)\longrightarrow (E^*,\times),\qquad
a+ib\longmapsto M(a,b).
\]
-
1-a)
Montrer que \((E,+,\cdot)\) est un sous-espace vectoriel de \((M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)\).
-
1-b)
Montrer que la famille \((I,J)\) est une base de l’espace \((E,+,\cdot)\).
-
2-a)
Montrer que \(E\) est une partie stable de \((M_2(\mathbb{R}),\times)\).
-
2-b)
Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((\mathbb{C}^*,\times)\) vers \((E^*,\times)\).
-
3-
Montrer que \((E,+,\times)\) est un corps commutatif.
-
4-
Résoudre dans l’ensemble \(E\) l’équation : \(J\times X^3 = I\).
Exercice 2 : (03,75 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\).
Soit :
\[
(G):\quad iz^2 + (a+\overline{a}-i)z - \overline{a} - i a\overline{a} = 0
\quad;\quad (a,z)\in \mathbb{C}^*\times \mathbb{C}.
\]
I)
-
1-a)
Vérifier que \(\Delta=(a-\overline{a}-i)^2\) où \(\Delta\) est le discriminant de \((G)\).
-
1-b)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((G)\).
-
2-
Montrer l’équivalence suivante :
\[
a\in \mathrm{solutions}(G)\ \Longleftrightarrow\ \Re(a)=\Im(a).
\]
II)
Soient : \(A(a)\) ; \(B(i\overline{a})\) ; \(C(1+ia)\), avec \(\Re(a)\ne \Im(a)\).
-
1-a)
Montrer l’implication :
\[
z=\frac{(1+ia)-a}{i\overline{a}-a}\ \Longrightarrow\
\overline{z}=\frac{(i-1)\overline{a}-i}{i\overline{a}-a}.
\]
-
1-b)
Montrer l’équivalence :
\[
A;\,B;\,C\ \text{sont colinéaires}\ \Longleftrightarrow\ \Im(a)=\frac12.
\]
-
2-
Soient les rotations :
\[
R_1 = R\!\left(A;-\frac{\pi}{2}\right)\ ;\quad
R_2 = R\!\left(A;\frac{\pi}{2}\right)\ ;\quad \Im(a)\ne \frac12.
\]
Soient : \(R_1(B)=B'\) ; \(R_2(C)=C'\) ; \(E\) milieu \([BC]\).
-
2-a)
Calculer : \(c'=\mathrm{aff}(C')\) et \(b'=\mathrm{aff}(B')\).
-
2-b)
Montrer que : \((AE)\perp (B'C')\) et \(B'C'=2\,AE\).
Exercice 3 : (03,00 points)
I)
Soit l’équation :
\[
(E):\quad 35u-96v=1\ ;\ (u,v)\in\mathbb{Z}^2.
\]
-
1-
Vérifier que \((11,4)\) est une solution particulière de l’équation \((E)\).
-
2-
En déduire la solution générale de l’équation \((E)\).
II)
Soit l’équation :
\[
(F):\quad x^{35}\equiv 2\ [97]\ ;\ x\in\mathbb{Z}.
\]
-
1-a)
Montrer que \(97\) est un nombre premier.
-
1-
Puis montrer l’implication : \(x\in \mathrm{solutions}(F)\ \Rightarrow\ x\wedge 97=1\).
-
1-b)
Montrer l’implication : \(x\in \mathrm{solutions}(F)\ \Rightarrow\ x^{96}\equiv 1\ [97]\).
-
1-c)
Montrer l’implication : \(x\in \mathrm{solutions}(F)\ \Rightarrow\ x\equiv 2^{11}\ [97]\).
-
2-
Montrer l’implication : \(x\equiv 2^{11}\ [97]\ \Rightarrow\ x\in \mathrm{solutions}(F)\).
-
3-
Montrer que l’ensemble des solutions de \((F)\) s’écrit sous la forme :
\[
S=\{(11+97k)\in\mathbb{N}\ ;\ k\in\mathbb{N}\}.
\]
Exercice 4 : (10,00 points)
I)
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([0,+\infty[\) par :
\[
f(x)=2x-e^{-x^2}.
\]
Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) avec :
\(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\,\text{cm}\).
-
1-a)
Calculer puis interpréter la limite suivante :
\[
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr).
\]
-
1-b)
Calculer \(f'(x)\) ; \(\forall x\ge 0\) puis dresser le tableau de variations de \(f\).
-
1-c)
Montrer que : \(\exists !\,\alpha\ge 0\ ;\ f(\alpha)=0\) et \(0<\alpha<1\).
-
1-d)
Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0,1]\).
-
2-
Construire la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
II)
Soient \(\varphi\) et \(g\) les fonctions définies sur \([0,+\infty[\) par :
\[
g(x)=x^2-\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt
\ ;\qquad
\begin{cases}
\varphi(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt & \text{si }x>0\\[6pt]
\varphi(0)=1 &
\end{cases}
\]
-
1-a)
Montrer que : \((\forall x>0)\), \((\exists c\in]0,x[)\) :
\[
\frac{1}{x}\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt = e^{-c^2}.
\]
-
1-b)
En déduire que :
\[
\int_{0}^{1}e^{-t^2}\,dt < 1.
\]
-
2-a)
Montrer que :
\[
g(\alpha)=\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt.
\]
-
2-b)
Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) et que :
\[
g'(x)=f(x)\ ;\ \forall x\ge 0.
\]
-
2-c)
Montrer que : \(\exists !\,\beta\in]\alpha,1[\ ;\ g(\beta)=0\).
-
3-a)
Montrer que la fonction \(\varphi\) est continue à droite en zéro.
-
3-b)
Via une intégration par parties, montrer que :
\[
\forall x>0\ ;\ \varphi(x)=e^{-x^2}+\frac{2}{x}\int_{0}^{x}t^2e^{-t^2}\,dt.
\]
-
3-c)
Montrer que \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), puis montrer que :
\[
\forall x>0\ ;\ \varphi'(x)= -\frac{2}{x^2}\int_{0}^{x}t^2e^{-t^2}\,dt.
\]
-
3-d)
Montrer que : \(\varphi([0,1])\subseteq [0,1]\).
-
4-a)
Montrer que : \(\forall x\ge 0\),
\[
\int_{0}^{x}t^2e^{-t^2}\,dt \le \frac{x^3}{3}.
\]
-
4-b)
Montrer que : \(\forall x\in]0,1[\), \(|\varphi'(x)|\le \dfrac{2}{3}\).
-
4-c)
Montrer que : \(\forall x>0\), \(\varphi(x)=x\ \Longleftrightarrow\ g(x)=0\).
-
5-
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie ainsi :
\[
\begin{cases}
u_{n+1}=\varphi(u_n) & ;\ \forall n\in\mathbb{N}\\
u_0=\dfrac{2}{3}
\end{cases}
\]
-
5-a)
Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ 0\le u_n\le 1\).
-
5-b)
Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_n-\beta|\le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\).
-
5-c)
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente puis donner sa limite.