Examen National Maths Sciences Maths A et B 2008 Rattrapage

1- Déterminer la nature de chacune des applications \(r\) et \(h\).
2- Soient : \(\Omega(i)\) ; \(A(a)\) ; \(M(z)\) ; \(M'(z')\) ; \(a\in\mathbb{C}\setminus\{i\}\).
Soient : \(B=F(A)\) ; \(C=F(B)\) ; \(D=F(C)\).
2-a) Montrer que : \( F(M)=M' \ \Longrightarrow\ z'-i = 2e^{\frac{4i\pi}{3}}(z-i). \)
2-b) Montrer que \(\Omega\) est le seul point qui vérifie : \(F(\Omega)=\Omega\).
3-a) Donner, en fonction de \(a\), les nombres : \(b=\mathrm{aff}(B)\), \(c=\mathrm{aff}(C)\), \(d=\mathrm{aff}(D)\).
3-b) Montrer que les points \(\Omega\), \(A\), \(D\) sont colinéaires.
3-c) Montrer que : \( \Omega=\mathrm{barycentre}\{(B,4)\ ;\ (C,2)\ ;\ (D,1)\}. \)
3-d) Déterminer l’ensemble des points \(A(a)\) pour lesquels \(D\in\) (l’axe réel).

Exercice 2 : (04,00 points)

Rappel : \((\mathbb{R},+,\times)\) est un corps commutatif : \(0_{\mathbb{R}}=0\) ; \(1_{\mathbb{R}}=1\). On pose : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\), \( x*y = x+y-3xy. \)

1-a) Vérifier que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\), \( (1-3x)(1-3y)=1-3(x*y). \)
1-b) Montrer que : \(\bigl(\mathbb{R}\setminus\{\tfrac13\},*\bigr)\) est un groupe commutatif.
2- Soit l’application définie ainsi : \( \varphi:\ \bigl(\mathbb{R}\setminus\{\tfrac13\},*\bigr)\longrightarrow (\mathbb{R}^*,\times), \qquad x\longmapsto 1-3x. \)
2-a) Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
2-b) Montrer que : \( \varphi^{-1}\bigl(]0,+\infty[\bigr)=]-\infty,\tfrac13[. \)
2-c) Montrer que \(\bigl(]-\infty,\tfrac13[,*\bigr)\) est un sous-groupe de \(\bigl(\mathbb{R}\setminus\{\tfrac13\},*\bigr)\).
3- On pose : \[ \begin{cases} x^{(n+1)} = x^{(n)} * x \quad ;\ \forall n\in\mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{\tfrac13\}\\[4pt] x^{(0)} = 0 \end{cases} \]
3-a) Montrer que : \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{\tfrac13\}\), \(\forall n\in\mathbb{N}\), \( \varphi\bigl(x^{(n)}\bigr) = \bigl(\varphi(x)\bigr)^n. \)
3-b) En déduire \(x^{(n)}\) en fonction de \(x\) et \(n\).
4- Soit : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\), \( x \top y = x+y-\dfrac13. \)
4-a) Montrer que \((\mathbb{R},\top)\) est un groupe commutatif.
4-b) Montrer que \((\mathbb{R},\top,*)\) est un corps commutatif.

Une urne contient \(4\) boules : une blanche et \(3\) boules rouges toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne, on note sa couleur puis la remet à nouveau dans l’urne. On répète le même procédé jusqu’à l’obtention de deux boules successives de la même couleur puis on s’arrête. Soit \(X\) la variable aléatoire qui prend le rang où l’expérience s’est arrêtée.

1- Calculer les probabilités suivantes : \(\mathbb{P}[X=2]\) et \(\mathbb{P}[X=3]\).
2-a) Montrer que : \( \mathbb{P}[X=2k]=\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{3}{16}\right)^{k-1},\qquad k\in\mathbb{N}. \)
2-b) Montrer que : \( \mathbb{P}[X=2k+1]=\left(\dfrac{3}{16}\right)^k,\qquad k\in\mathbb{N}. \)

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(I=]-\tfrac12,+\infty[\) par : \[ \begin{cases} f(x)=\dfrac{\ln(2x+1)}{x} & \text{si }x\ne 0\\[6pt] f(0)=2 \end{cases} \] Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) avec : \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\text{ cm}\).

On pose, pour \(a\in I\) : \( h_a(x)=\bigl(\ln(1+2a)-2a\bigr)x^2-\bigl(\ln(1+2x)-2x\bigr)a^2. \)

1- Montrer que la fonction \(f\) est continue en zéro.
2-a) Calculer \(h_a(0)\) et \(h_a(a)\).
En déduire que : \(\exists !\,b\in[0,a]\) tel que : \( \dfrac{\ln(1+2a)-2a}{a^2}=\dfrac{-2}{1+2b}. \)
2-b) Montrer que \(f\) est dérivable en zéro et que : \(f'(0)=-2\).
3-a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(I^*=I\setminus\{0\}\), puis montrer que : \[ \forall x\in I^*;\quad f'(x)=\frac{g(x)}{x^2(1+2x)}, \qquad g(x)=2x-(1+2x)\ln(1+2x). \]
3-b) Montrer que : \(\forall x\in I^*;\ g(x)<0\).
3-c) En déduire la monotonie de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\).
4-a) Calculer puis interpréter les limites : \( \lim_{x\to\left(-\frac12\right)^+}f(x) \quad \text{et}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x). \)
4-b) Montrer que : \(\exists !\,\alpha\in[1,2]\) tel que \(f(\alpha)=1\).
4-c) Construire la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).

On pose : \((\forall x\in I)\), \(\varphi(x)=\ln(1+2x)\) et \(J=[1,\alpha]\).

1-a) Montrer que la fonction \(\varphi\) est dérivable sur l’intervalle \(I\) et que : \( (\forall x\ge 1)\ ;\quad 0<\varphi'(x)\le \dfrac{2}{3}. \)
1-b) Vérifier que : \(\varphi(\alpha)=\alpha\) et \(\varphi(J)\subseteq J\).
2- Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie ainsi : \( \begin{cases} u_{n+1}=\ln(1+2u_n) & ;\ \forall n\in\mathbb{N}\\ u_0=1 \end{cases} \)
2-a) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_n\in J\).
2-b) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_n-\alpha|\le \left(\frac{2}{3}\right)^n\).
2-c) En déduire que \((u_n)\) est convergente puis donner sa limite.

Soit \(F\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(I\) ainsi : \( F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt. \)

1-a) Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur \(I\) puis calculer \(F'(x)\).
1-b) En déduire la monotonie de la fonction \(F\) sur l’intervalle \(I\).
2-a) Montrer que : \(\forall x\ge 1\), \( F(x)>\int_{1}^{x}\left(\dfrac{\ln(1+2t)}{1+2t}\right)dt. \)
2-b) En déduire que : \( \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty. \)
3- On pose : \(\forall x\in\left[-\tfrac12,+\infty\right[\), \( \begin{cases} \widetilde{F}(x)=F(x) & ;\ \forall x\in I\\[4pt] \widetilde{F}\!\left(-\tfrac12\right)=\ell=\displaystyle\lim_{x\to\left(-\dfrac12\right)^+}F(x) \end{cases} \)
3-a) Montrer (par TAF) que : \((\forall x\in I)\), \( F(x)-\ell > \left(x+\dfrac12\right)f(x). \)
3-b) En déduire que la fonction \(\widetilde{F}\) n’est pas dérivable à droite en \(-\tfrac12\).