EXERCICE 1 : (3,5 points)
On rappelle que \((\mathbb{C},+,\times)\) est un corps commutatif et que \((M_2(\mathbb{R}),+,\times)\) est un
anneau unitaire, de zéro la matrice nulle
\[
O=\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\]
et d’unité la matrice
\[
I=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\]
et que \((M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel.
Pour tout couple \((x,y)\in\mathbb{R}^2\), on pose
\[
M(x,y)=\begin{pmatrix}
x & -2y\\
y & x+2y
\end{pmatrix}
\]
et on considère l’ensemble
\[
E=\{M(x,y)\;/\;(x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
\]
-
1-
Montrer que \(E\) est un sous-groupe du groupe \((M_2(\mathbb{R}),+)\).
-
2-a)
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \((M_2(\mathbb{R}),+,\cdot)\).
-
2-b)
On pose \(J=M(0,1)\). Montrer que \((I,J)\) est une base de l’espace vectoriel réel \((E,+,\cdot)\).
-
3-a)
Montrer que \(E\) est une partie stable de \((M_2(\mathbb{R}),\times)\).
-
3-b)
Montrer que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif.
-
4-
Soit \(\varphi\) l’application de \(\mathbb{C}^{*}\) vers \(M_2(\mathbb{R})\) définie par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2-\{(0,0)\},\qquad
\varphi(x+iy)=M(x+y,-y)=
\begin{pmatrix}
x+y & 2y\\
-y & x-y
\end{pmatrix}
\]
-
4-a)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb{C}^{*},\times)\) vers \((M_2(\mathbb{R}),\times)\).
-
4-b)
On pose \(E^{*}=E-\{O\}\). Montrer que \(\varphi(\mathbb{C}^{*})=E^{*}\).
-
4-c)
En déduire que \((E^{*},\times)\) est un groupe commutatif.
-
5-
Montrer que \((E,+,\times)\) est un corps commutatif.
EXERCICE 2 : (3 points)
Soit \(p\) un nombre premier tel que :
\[
p=3+4k \qquad (k\in\mathbb{N}^{*})
\]
-
1-
Montrer que pour tout entier relatif \(x\), si \(x^2\equiv 1\ [p]\) alors \(x^{p-5}\equiv 1\ [p]\).
-
2-
Soit \(x\) un entier relatif vérifiant : \(x^{p-5}\equiv 1\ [p]\).
-
2-a)
Montrer que \(x\) et \(p\) sont premiers entre eux.
-
2-b)
Montrer que : \(x^{p-1}\equiv 1\ [p]\).
-
2-c)
Vérifier que : \(2+(k-1)(p-1)=k(p-5)\).
-
2-d)
En déduire que : \(x^2\equiv 1\ [p]\).
-
3-
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation :
\[
x^{62}\equiv 1\ [67].
\]
EXERCICE 3 : (3,5 points)
Soit \(m\) un nombre complexe.
I-
On considère dans l’ensemble des complexes \(\mathbb{C}\) l’équation \((E_m)\) d’inconnue \(z\) :
\[
(E_m):\quad z^2+(im+2)z+im+2-m=0
\]
-
1-a)
Vérifier que \(\Delta=(im-2i)^2\) est le discriminant de l’équation \((E_m)\).
-
1-b)
Donner, suivant les valeurs de \(m\), l’ensemble des solutions de l’équation \((E_m)\).
-
2-
Pour \(m=i\sqrt{2}\), écrire les deux racines de l’équation \((E_m)\) sous la forme exponentielle.
II-
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\).
On considère les points \(A,\Omega,M\) et \(M'\) d’affixes respectifs
\[
a=-1-i,\qquad \omega=i,\qquad m,\qquad m'=-im-1+i.
\]
-
1-
Soit \(R\) la rotation d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) qui transforme \(M\) en \(M'\).
-
1-a)
Vérifier que \(\Omega\) est le centre de \(R\).
-
1-b)
Déterminer l’affixe \(b\) de \(B\), où \(B\) est le point tel que : \(A=R(B)\).
-
2-a)
Vérifier que :
\[
m'-a=\frac{\omega-a}{\omega-b}(m-b).
\]
-
2-b)
En déduire que les points \(A,M\) et \(M'\) sont alignés si et seulement si les points \(A,B,\Omega\) et \(M\) sont cocycliques.
-
2-c)
Montrer que l’ensemble des points \(M\) tel que les points \(A,M\) et \(M'\) soient alignés est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
EXERCICE 4 : (7,5 points)
Partie I :
-
1-a)
Montrer que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ \int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt=x-\ln(1+x)
\]
-
1-b)
En utilisant le changement de variable \(u=t^2\), montrer que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ \int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt=\frac12\int_0^{x^2}\frac{1}{1+\sqrt{u}}\,du
\]
-
1-c)
En déduire que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ \frac{1}{2(1+x)}\le \frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\le \frac12
\]
-
2-
Déterminer
\[
\lim_{x\to0^+}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}.
\]
Partie II :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
\begin{cases}
f(x)=\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\ln(1+x) & ;\ x\ne 0\\[0.2cm]
f(0)=1
\end{cases}
\]
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
-
1-a)
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
-
1-b)
Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(0\).
(On pourra utiliser le résultat de la question I.2)
-
1-c)
Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x),\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
2-a)
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), puis vérifier que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ f'(x)=\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}
\]
-
2-b)
En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
-
2-c)
Vérifier que :
\[
f([0,+\infty[)=[1,+\infty[
\]
-
3-
Représenter graphiquement la courbe \((C)\).
(On construira la demi-tangente à droite au point d’abscisse \(0\))
Partie III :
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
g(x)=f(x)-x
\]
-
1-a)
Montrer que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ 0
-
1-b)
En déduire que \(g\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\) puis montrer que :
\[
g(]0,+\infty[)=]-\infty,1[
\]
-
1-c)
Montrer que l’équation \(f(x)=x\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(]0,+\infty[\).
-
2-
Soit \(a\) un réel de l’intervalle \(]0,+\infty[\). On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[
u_0=a
\qquad\text{et}\qquad
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_{n+1}=f(u_n)
\]
-
2-a)
Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_n>0
\]
-
2-b)
Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_{n+1}-\alpha|\le \frac12|u_n-\alpha|
\]
-
2-c)
Montrer par récurrence que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_n-\alpha|\le \left(\frac12\right)^n|a-\alpha|
\]
-
2-d)
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\alpha\).
EXERCICE 5 : (2,5 points)
On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt
\]
-
1-
Montrer que \(F\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
-
2-a)
Montrer que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ F(x)\ge x
\]
puis en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)\).
-
2-b)
Montrer que \(F\) est impaire, en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)\).
-
2-c)
Montrer que \(F\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
-
2-d)
Montrer que la bijection réciproque \(G\) de la fonction \(F\) est dérivable en \(0\), puis calculer \(G'(0)\).