CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte trois exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’exercice 1 se rapporte à l’analyse ………………………… (12 pts)
- L’exercice 2 se rapporte aux nombres complexes……… (4 pts)
- L’exercice 3 se rapporte à l’arithmétique ………………… (4 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (12 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f_n(x)=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}+nx.
\]
Soit \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
(On prendra \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\text{ cm}\).)
Partie I
-
1-a)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(f_n(x)-nx+2\big)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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1-b)
Montrer que la courbe \((C_n)\) admet, en \(-\infty\), une asymptote \((\Delta_n)\) dont on déterminera une équation cartésienne.
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2-a)
Montrer que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que :
\[
(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\quad f_n'(x)=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}+n.
\]
-
2-b)
Montrer que :
\[
(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\quad \frac{4e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\le 1.
\]
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2-c)
En déduire le sens de variation de la fonction \(f_n\) sur \(\mathbb{R}\).
(On distinguera les deux cas : \(n=0\) et \(n\ge 1\).)
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3-a)
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe \((C_n)\) au point \(I\) d’abscisse \(0\).
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3-b)
Montrer que le point \(I\) est le seul point d’inflexion de la courbe \((C_n)\).
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4-
Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes \((C_0)\) et \((C_2)\).
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5-
Pour tout réel \(t>0\), on pose \(A(t)\) l’aire du domaine plan limité par \((C_n)\) et les droites d’équations respectives :
\(y=nx-2\), \(x=0\) et \(x=t\).
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5-a)
Calculer \(A(t)\) pour tout \(t>0\).
-
5-b)
Calculer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} A(t)\).
Partie II
On considère la suite \((u_n)_{n\ge 0}\) définie par :
\[
u_0=0
\qquad\text{et}\qquad
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_{n+1}=f_0(u_n).
\]
-
1-a)
Montrer que l’équation \(f_0(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
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1-b)
Montrer que :
\[
(\forall x\in\mathbb{R})\ ;\quad |f_0'(x)|\le \frac12.
\]
-
2-a)
Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \frac12\,|u_n-\alpha|.
\]
-
2-b)
En déduire que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\ ;\quad |u_n-\alpha|\le \left(\frac12\right)^{n}|\alpha|.
\]
-
2-c)
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge 0}\) converge vers \(\alpha\).
Partie III
On suppose dans cette partie que \(n\ge 2\).
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1-a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), il existe un unique réel \(x_n\) solution de l’équation \(f_n(x)=0\).
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1-b)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), \(0<x_n<1\).
(On prendra \(\dfrac{2e}{1+e}<1.47\).)
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2-a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), \(f_{n+1}(x_n)>0\).
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2-b)
En déduire que la suite \((x_n)_{n\ge 2}\) est strictement décroissante.
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2-c)
Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge 2}\) est convergente.
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3-a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\),
\[
\frac{1}{n}<x_n<\frac{1}{n}\left(\frac{2e}{1+e}\right).
\]
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3-b)
En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n\), puis montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n x_n=1\).
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4-a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), on a : \(x_n\le x_2\).
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4-b)
En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(x_n)^{n}\).
EXERCICE 2 : (4 points)
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres complexes non nuls tels que : \(a+b\ne c\).
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1-a)
Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E):\quad z^2-(a+b+c)z+c(a+b)=0.
\]
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1-b)
On suppose uniquement dans cette question que :
\[
a=i,\qquad b=e^{i\frac{\pi}{3}},\qquad c=a-b.
\]
Écrire les deux solutions de l’équation \((E)\) sous forme exponentielle.
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2-a)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
On considère les trois points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) qu’on suppose non alignés.
Soient \(P(p)\) le centre de la rotation d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\) qui transforme \(B\) en \(A\),
et \(Q(q)\) le centre de la rotation d’angle \(\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\) qui transforme \(C\) en \(A\),
et \(D(d)\) le milieu du segment \([BC]\).
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2-a)
Montrer que :
\[
2p=b+a+(a-b)i
\qquad\text{et}\qquad
2q=c+a+(c-a)i.
\]
-
2-b)
Calculer :
\[
\frac{p-d}{q-d}.
\]
-
2-c)
En déduire la nature du triangle \(PDQ\).
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3-
Soient \(E\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(P\) et \(F\) le symétrique de \(C\) par rapport à \(Q\) et \(K\) le milieu du segment \([EF]\).
-
3-a)
Montrer que l’affixe de \(K\) est :
\[
k=a+\frac{i}{2}(c-b).
\]
-
3-b)
Montrer que les points \(K\), \(P\), \(Q\) et \(D\) sont cocycliques.
EXERCICE 3 : (4 points)
Partie I
On considère dans \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) l’équation \((E)\) :
\[
(E):\quad 47x-43y=1.
\]
1-
Vérifier que le couple \((11,12)\) est une solution particulière de l’équation \((E)\).
2-
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) l’équation \((E)\).
Partie II
On considère dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \((F)\) :
\[
(F):\quad x^{41}\equiv 4 \ [43].
\]
1-
Soit \(x\in\mathbb{Z}\) une solution de l’équation \((F)\).
-
1-a)
Montrer que \(x\) et \(43\) sont premiers entre eux, en déduire que :
\[
x^{42}\equiv 1 \ [43].
\]
-
1-b)
Montrer que : \(4x\equiv 1 \ [43]\), en déduire que : \(x\equiv 11 \ [43]\).
2-
Donner l’ensemble des solutions dans \(\mathbb{Z}\) de l’équation \((F)\).
Partie III
On considère dans \(\mathbb{Z}\) le système à deux équations suivant \((S)\) :
\[
(S):
\begin{cases}
x^{41}\equiv 4 \ [43]\\
x^{47}\equiv 10 \ [47]
\end{cases}
\]
1-
Soit \(x\) une solution du système \((S)\).
-
1-a)
Montrer que \(x\) est solution du système \((S')\) :
\[
(S'):
\begin{cases}
x\equiv 11 \ [43]\\
x\equiv 10 \ [47]
\end{cases}
\]
-
1-b)
En déduire que : \(x\equiv 527 \ [2021]\).
(On pourra utiliser la partie I.)
2-
Donner l’ensemble des solutions dans \(\mathbb{Z}\) du système \((S)\).