CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte 4 exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’exercice 1 se rapporte à l’analyse ………………………… (8 pts)
- L’exercice 2 se rapporte à l’analyse ………………………… (4 pts)
- L’exercice 3 se rapporte aux nombres complexes ………… (4 pts)
- L’exercice 4 se rapporte à l’arithmétique ………………… (4 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (8 points)
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I=]-\infty,1[\) par :
\(
f(x)=\ln(1-x).
\)
Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
-
1-a)
Montrer que la fonction \(f\) est continue sur \(I\).
-
1-b)
Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
-
1-c)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)\), \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)\) et
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}\).
-
1-d)
Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
-
1-e)
Donner le tableau de variations de \(f\).
-
2-a)
Montrer que la courbe \((C)\) est concave.
-
2-b)
Représenter graphiquement la courbe \((C)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).
-
3-a)
Montrer que \(f\) est une bijection de \(I\) vers \(\mathbb{R}\).
-
3-
On note \(f^{-1}\) sa bijection réciproque.
-
3-b)
Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour \(x\in\mathbb{R}\).
-
3-c)
Vérifier que : \(f^{-1}(-1)=1-e^{-1}\).
Partie II
Pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(n\ge 2\), on pose :
\[
P_n(x)=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}.
\]
-
1-
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), il existe un unique réel \(x_n\in]0,1[\) tel que :
\(
P_n(x_n)=1.
\)
-
2-
Déterminer le réel \(\alpha=x_2\) et vérifier que : \(0<\alpha<1\).
-
3-a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), on a : \(P_{n+1}(x_n)>1\).
-
3-b)
En déduire que la suite \((x_n)_{n\ge 2}\) ainsi définie est strictement décroissante.
-
3-c)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), on a : \(x_n\in]0,\alpha]\).
-
3-d)
Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge 2}\) est convergente.
Pour tout réel \(x\in I\) et pour tout entier \(n\ge 2\), on pose :
\(
f_n(x)=f(x)+P_n(x).
\)
-
4-a)
Montrer que :
\[
(\forall x\in I)\ ;\ (\forall n\ge 2)\quad f_n'(x)= -\frac{x^n}{1-x}.
\]
-
4-b)
Montrer que :
\[
(\forall x\in[0,\alpha])\ ;\ (\forall n\ge 2)\quad |f_n'(x)|\le \frac{\alpha^n}{1-\alpha}.
\]
-
4-c)
En déduire que :
\[
(\forall x\in[0,\alpha])\ ;\ (\forall n\ge 2)\quad |f_n(x)|\le \frac{\alpha^n}{1-\alpha}.
\]
-
4-d)
Montrer que :
\[
(\forall n\ge 2)\quad |f(x_n)+1|\le \frac{\alpha^n}{1-\alpha}.
\]
-
4-e)
En déduire la valeur de \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n\).
EXERCICE 2 : (4 points)
On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
F(x)=\int_{0}^{x} e^{\,t-\frac{t^2}{2}}\,dt.
\]
-
1-a)
Déterminer le signe de \(F(x)\) en fonction de \(x\).
-
1-b)
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer sa dérivée première \(F'(x)\).
-
2-a)
En utilisant la méthode d’intégration par parties, montrer que :
\[
\int_{0}^{1} F(x)\,dx = \int_{0}^{1}(1-x)\,e^{\,x-\frac{x^2}{2}}\,dx.
\]
-
2-b)
Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} F(x)\,dx\).
On considère la suite \((u_n)_{n\ge 1}\) définie par :
\[
(\forall n\in\mathbb{N}^*)\quad
u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left[(n-k)\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} e^{\,x-\frac{x^2}{2}}\,dx\right].
\]
-
3-a)
Vérifier que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N}^*)\quad
u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)\,F\!\left(\frac{k+1}{n}\right)
-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)\,F\!\left(\frac{k}{n}\right).
\]
-
3-b)
Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N}^*)\quad
u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}F\!\left(\frac{k}{n}\right).
\]
-
3-c)
En déduire que la suite \((u_n)_{n\ge 1}\) est convergente et déterminer sa limite.
EXERCICE 3 : (4 points)
\(m\) est un nombre complexe différent de \(2\) et de \(-i\).
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E):\quad z^2-(m-i)z-im=0.
\]
-
1-a)
Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est \((m+i)^2\).
-
1-b)
Déterminer \(z_1\) et \(z_2\), les deux solutions de \((E)\).
-
1-c)
Sachant que \(m=e^{\,i\frac{\pi}{8}}\), écrire le nombre \(z_1+z_2\) sous forme exponentielle.
On considère les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’affixes respectifs \(2\), \(-i\) et \(m\),
et soit \(M'\) le symétrique de \(M\) par rapport à l’axe imaginaire.
-
2-a)
Déterminer en fonction de \(m\) l’affixe de \(M'\).
-
2-b)
Déterminer en fonction de \(m\) l’affixe du point \(N\) tel que le quadrilatère \(ANM'B\)
soit un parallélogramme.
-
2-c)
Montrer que les deux droites \((AM)\) et \((BM')\) sont perpendiculaires si et seulement si :
\[
\Re\big((2-i)m\big)=\Re\big(m^2\big).
\]
EXERCICE 4 : (4 points)
Soit \(a\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et soit
\[
A=1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6.
\]
Soit \(p\) un nombre premier impair tel que : \(p\) divise \(A\).
-
1-a)
Montrer que \(a^7\equiv 1\ [p]\), en déduire que \(\forall n\in\mathbb{N}\) : \(a^{7n}\equiv 1\ [p]\).
-
1-b)
Montrer que \(a\) et \(p\) sont premiers entre eux, en déduire que :
\[
\forall m\in\mathbb{N}\ ;\ a^{(p-1)m}\equiv 1\ [p].
\]
2-
On suppose que \(7\) ne divise pas \(p-1\).
-
2-a)
Montrer que : \(a\equiv 1\ [p]\).
-
2-b)
En déduire que : \(p=7\).
3-
Montrer que si \(p\) est un nombre premier impair tel que : \(p\) divise \(A\),
alors : \(p=7\) ou \(p\equiv 1\ [7]\).
FIN