Examen National Maths Sciences Maths A et B 2022 – Session Normale - Examens Nationaux

1-a) Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
1-b) Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(0\).
1-c) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2-a) Montrer que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\) \[ f'(x)=-\frac{g(x)}{x^3}, \] où \[ g(x)=x+\frac{x}{x+1}-2\ln(1+x). \]
2-b) Montrer que : \((\forall x\in I)\ ;\ 0\le g'(x)\le x^2\).
2-c) En déduire que : \((\forall x\in I)\ ;\ 0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{3}\).
2-d) Déterminer le sens de variation de \(f\) sur \(I\).

3-a) Dresser le tableau de variation de \(f\).
3-b) Représenter graphiquement la courbe \((C)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).
(On prendra \(\|\vec{i}\|=2\text{ cm}\) et \(\|\vec{j}\|=2\text{ cm}\).)

1- Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\in]0,1[\) tel que \(f(\alpha)=\alpha\).

2- On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \[ u_0=\frac13 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_{n+1}=f(u_n). \]

2-a) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ u_n\in[0,1]\).
2-b) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac13|u_n-\alpha|\).
2-c) Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ ;\ |u_n-\alpha|\le\left(\dfrac13\right)^n\).
2-d) En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\alpha\).

Pour tout \(x\in I\), on pose : \[ F(x)=\int_{x}^{1} f(t)\,dt. \]

1- Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur \(I\) et calculer \(F'(x)\) pour tout \(x\in I\).
2-a) En utilisant la méthode d’intégration par parties, montrer que : \[ (\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ F(x)=2\ln 2-\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln(1+x). \]
2-b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}F(x)\), puis en déduire que : \[ \int_{0}^{1} f(t)\,dt = 2\ln 2 -1. \]
2-c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C)\), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x=1\).

On pose, pour tout \(k\in\mathbb{N}\) : \[ \Delta_k=f(k)-\int_{k}^{k+1} f(t)\,dt, \] et pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\Delta_k. \]

1-a) Vérifier que : \((\forall k\in\mathbb{N})\ ;\ 0\le\Delta_k\le f(k)-f(k+1)\).
1-b) En déduire que : \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ ;\ 0\le S_n\le \dfrac12\).
2-a) Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est monotone.
2-b) En déduire que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est convergente.
2-c) Montrer que la limite \(\ell\) de la suite \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) vérifie : \[ \frac{3}{2}-2\ln 2\le \ell \le \frac12. \]

EXERCICE 2 : (3.5 points)

Soit \(m\) un nombre complexe non nul donné et \[ j=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i = e^{\frac{2\pi i}{3}}. \]

On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E_m)\) d’inconnue \(z\) : \[ (E_m):\quad z^2 + m\,j^2\,z + m^2\,j = 0. \]

1- Vérifier que : \(j^3=1\) et \(1+j+j^2=0\).
2-a) Montrer que le discriminant de l’équation \((E_m)\) est : \[ \Delta = \big(m(1-j)\big)^2. \]
2-b) Déterminer \(z_1\) et \(z_2\), les deux solutions de l’équation \((E_m)\).
3- Dans cette question, on suppose que \(m=1+i\). Montrer que \((z_1+z_2)^{2022}\) est un imaginaire pur.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\). Soit \(\varphi\) la transformation du plan complexe qui à tout point \(M(z)\) fait correspondre le point \(M'(z')\) tel que : \[ z'=(1+j)z. \]

1- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application \(\varphi\).
2- On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(m\), \(mj\) et \(mj^2\), et on note \(A'(a')\), \(B'(b')\) et \(C'(c')\) les images respectives des points \(A\), \(B\) et \(C\) par l’application \(\varphi\). Soient \(P(p)\), \(Q(q)\) et \(R(r)\) les milieux respectifs des segments \([BA']\), \([CB']\) et \([AC']\).
2-a) Montrer que : \(a'=-mj^2\), \(b'=-m\) et \(c'=-mj\).
2-b) Montrer que : \(p+qj+rj^2=0\).
2-c) En déduire que le triangle \(PQR\) est équilatéral.

Soit \(n\) un entier naturel strictement supérieur à \(1\). On considère dans \(\mathbb{N}^2\) l’équation \((E_n)\) : \[ (E_n):\ (x+1)^n-x^n=ny. \] Soit \((x,y)\) une solution de \((E_n)\) dans \(\mathbb{N}^2\) et soit \(p\) le plus petit diviseur premier de \(n\).

1-a) Montrer que : \((x+1)^n\equiv x^n\ [p]\).
1-b) Montrer que \(p\) est premier avec \(x\) et avec \((x+1)\).
1-c) En déduire que : \((x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\ [p]\).
2- Montrer que si \(n\) est pair, alors l’équation \((E_n)\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{N}^2\).
3- On suppose que \(n\) est impair.
3-a) Montrer qu’il existe un couple \((u,v)\) de \(\mathbb{Z}^2\) tel que : \[ nu+(p-1)v=1. \] (On rappelle que \(p\) est le plus petit diviseur premier de \(n\).)
3-b) Soient \(q\) et \(r\) respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de \(u\) par \((p-1)\). Vérifier que : \[ nr = 1-(p-1)(v+nq). \]
3-c) On pose \(v'=-(v+nq)\). Montrer que : \(v'\ge 0\).
3-d) Montrer que l’équation \((E_n)\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{N}^2\).

On rappelle que \(\big(M_2(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire non commutatif d’unité \(I\), et que \((\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire et intègre. Soit \[ E=\left\{\,M(a,b)= \begin{pmatrix} a&3b\\ b&a \end{pmatrix} \ \Big/\ (a,b)\in\mathbb{Z}^2\right\}. \]

1-a) Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \(\big(M_2(\mathbb{R}),+\big)\).
1-b) Vérifier que pour tout \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), on a : \[ M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,\ ad+bc). \]
1-c) Montrer que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif et unitaire.

2- Soit \(\varphi\) l’application définie de \(E\) vers \(\mathbb{Z}\) par : \[ \forall(a,b)\in\mathbb{Z}^2,\quad \varphi\!\big(M(a,b)\big)=a^2-3b^2. \] Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((E,\times)\) vers \((\mathbb{Z},\times)\).

3- Soit \(M(a,b)\in E\).

3-a) Montrer que : \[ M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)\,I. \]
3-b) Montrer que si \(M(a,b)\) est inversible dans \((E,\times)\) alors \(\varphi(M(a,b))=1\).
3-c) On suppose que \(\varphi(M(a,b))=1\). Montrer que \(M(a,b)\) est inversible dans \((E,\times)\) et préciser son inverse.

4-a) Montrer que : \(\forall(a,b)\in\mathbb{Z}^2,\ \varphi(M(a,b))=0 \iff a=b=0\).
4-b) En déduire que l’anneau \((E,+,\times)\) est intègre.
4-c) Est-ce que \((E,+,\times)\) est un corps ? Justifier votre réponse.

FIN