CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte quatre exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’exercice1 se rapporte à l’analyse ………………………… (10 pts)
- L’exercice2 se rapporte aux nombres complexes……… (3.5 pts)
- L’exercice3 se rapporte aux structures algébriques …… (3.5 pts)
- L’exercice4 se rapporte à l’arithmétique ………………… (3 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (10 points)
Partie A
1-
Montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ 1+x\le e^{x}\).
-
2-a)
Montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}^{+})\ ;\ 0\le 1-e^{-x}\le x\).
-
2-b)
En déduire que : \((\forall x\in\mathbb{R}^{+})\ ;\)
\[
0\le 1-x+\frac{x^{2}}{2}-e^{-x}\le \frac{x^{3}}{6}.
\]
-
2-c)
Montrer que :
\[
\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{1-x-e^{-x}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}.
\]
Partie B
On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[0,+\infty[\) par :
\[
f(0)=1
\quad\text{et}\quad
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ f(x)=\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}.
\]
Et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
-
1-a)
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
-
1-b)
Vérifier que : \((\forall x>0)\ ;\)
\[
\frac{f(x)-1}{x}
=
\frac{1-2x-e^{-2x}}{x^{2}}
-
\frac{1-x-e^{-x}}{x^{2}}.
\]
-
1-c)
En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et que le nombre dérivé à droite en \(0\) est \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)\).
-
2-a)
Montrer que : \((\forall x>0)\ ;\)
\[
f'(x)=\frac{e^{-2x}}{x^{2}}\Big(2x+1-e^{x}(1+x)\Big).
\]
-
2-b)
Montrer que : \((\forall x>0)\ ;\ f'(x)\le -e^{-2x}\).
(On pourra utiliser : \(1+x\le e^{x}\))
-
2-c)
En déduire le sens de variations de \(f\) sur \(I\).
3-
On admet que : \((\forall x>0)\ ;\)
\[
f''(x)=\frac{e^{-2x}}{x^{3}}\Big(-4x^{2}-4x-2+e^{x}(2+2x+x^{2})\Big).
\]
-
3-a)
Montrer que : \((\forall x\ge 0)\ ;\ 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}\le e^{x}\).
-
3-b)
En déduire que : \((\forall x>0)\ ;\ f''(x)>0\).
On admet que : \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} f'(x)=-\dfrac{3}{2}\).
-
4-a)
Montrer que : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0\).
-
4-b)
En déduire que : \((\forall x\in I)\ ;\ |f'(x)|\le \dfrac{3}{2}\).
-
5-a)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
5-b)
Dresser le tableau de variations de \(f\).
-
5-c)
Déterminer la position relative de la courbe \((C)\) par rapport à sa demi-tangente au point \(T(0;1)\).
-
5-d)
Représenter graphiquement la courbe \((C)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Partie C
Pour tout \(x\) de \([0;1]\), on pose : \(\ g(x)=f(x)-x\).
-
1-a)
Montrer que \(g\) est une bijection de \([0;1]\) vers un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
-
1-b)
Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\in]0;1[\) tel que \(f(\alpha)=\alpha\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\) et pour tout entier \(k\in\{0;1;\ldots;n\}\), on considère les nombres réels
\[
x_k=\frac{k\alpha}{n}
\]
et on pose :
\[
I_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,dt
\qquad\text{et}\qquad
J_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x_k)\,dt.
\]
-
2-a)
Montrer que : \(\forall k\in\{0;1;\ldots;n\}\ ;\ |J_k-I_k|\le \dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{x_k}^{x_{k+1}}(t-x_k)\,dt\).
-
2-b)
En déduire que : \(\forall k\in\{0;1;\ldots;n\}\ ;\ |J_k-I_k|\le \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{\alpha}{n}\right)^2\).
On pose :
\[
L=\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt.
\]
-
3-a)
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),
\[
\left|\frac{\alpha}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\frac{k\alpha}{n}\right)-L\right|
\le \frac{3\alpha^{2}}{4n}.
\]
-
3-b)
En déduire que :
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\frac{k\alpha}{n}\right)
=
\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt.
\]
EXERCICE 2 : (3.5 points)
Soit \(m\in\mathbb{C}\setminus\{-1;0;1\}\).
Partie I-
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E_m)\) d’inconnue \(z\) :
\[
(E_m):\quad m z^{2}-(m-1)^{2}z-(m-1)^{2}=0.
\]
-
1-a)
Montrer que le discriminant de l’équation \((E_m)\) est : \(\Delta=(m^{2}-1)^{2}\).
-
1-b)
Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E_m)\).
2-
On prend uniquement dans cette question \(m=e^{i\theta}\) avec \(0<\theta<\pi\). Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle.
Partie II
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
On considère les deux points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(m-1\) et \(\dfrac{1}{m}-1\).
1-
Montrer que les points \(O\), \(A\) et \(B\) sont alignés si et seulement si \(m\in\mathbb{R}\).
2-
On suppose que \(m\) n’est pas un nombre réel.
Soient \(C\) l’image du point \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(D\) l’image du point \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\),
et soient \(P(p)\), \(Q(q)\) et \(R(r)\) les milieux respectifs des segments \([AC]\), \([AD]\) et \([OB]\).
-
2-a)
Montrer que l’affixe du point \(C\) est :
\[
c=m-1+\left(\frac{1}{m}-m\right)e^{i\frac{\pi}{3}}
\]
et que l’affixe du point \(D\) est :
\[
d=(m-1)e^{i\frac{\pi}{3}}.
\]
-
2-b)
Montrer que :
\[
2(p-r)=m-1+\left(\frac{1}{m}-m\right)\left(e^{i\frac{\pi}{3}}-1\right)
\]
et
\[
2(q-r)=(m-1)e^{i\frac{\pi}{3}}-\left(\frac{1}{m}-m\right).
\]
-
2-c)
Montrer que :
\[
q-r=e^{i\frac{\pi}{3}}(p-r).
\]
-
2-d)
Quelle est la nature du triangle \(PQR\) ? (justifier votre réponse)
EXERCICE 3 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_3(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre,
d’unité
\[
I=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\]
(La loi \(\times\) étant la multiplication usuelle des matrices).
Pour tout réel \(a\), on pose
\[
M(a)=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a+1&3&-1\\
2a+3&6&-2
\end{pmatrix}
\]
et soit
\[
G=\{\,M(a)\ /\ a\in\mathbb{R}\,\}.
\]
Soit \(\varphi\) l’application de \(\mathbb{R}\) vers \(M_3(\mathbb{R})\) définie par :
\((\forall a\in\mathbb{R})\ ;\ \varphi(a)=M(a)\).
-
1-a)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb{R},+)\) vers \((M_3(\mathbb{R}),\times)\).
-
1-b)
Montrer que \(\varphi(\mathbb{R})=G\), en déduire que \((G,\times)\) est un groupe commutatif.
-
1-c)
Déterminer \(J\) l’élément neutre dans \((G,\times)\).
-
1-d)
Déterminer l’inverse de \(M(a)\) dans \((G,\times)\).
-
1-e)
Résoudre dans \((G,\times)\) l’équation : \(M(1)\times X=M(2)\).
-
2-a)
Montrer que : \((\forall a\in\mathbb{R})\ ;\ M(a)\times J=M(a)\times I\).
-
2-b)
En déduire que pour tout \(a\in\mathbb{R}\), \(M(a)\) n’est pas inversible dans \((M_3(\mathbb{R}),\times)\).
-
2-c)
Vérifier que les matrices de la forme
\[
X=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
x+2&3&0\\
3x+5&6&1
\end{pmatrix}
\quad\text{avec }x\in\mathbb{R}
\]
sont des solutions dans \((M_3(\mathbb{R}),\times)\) de l’équation : \(M(1)\times X=M(2)\).
EXERCICE 4 : (3 points)
1-
Montrer que \(137\) est un nombre premier.
2-
Déterminer un couple \((u,v)\) de \(\mathbb{Z}^2\) tel que : \(38u+136v=2\).
Soit \(x\in\mathbb{Z}\) tel que : \(\ x^{38}\equiv 1\ [137]\).
-
3-a)
Montrer que \(x\) et \(137\) sont premiers entre eux.
-
3-b)
Montrer que : \(x^{136}\equiv 1\ [137]\).
-
3-c)
Montrer que : \(x^{2}\equiv 1\ [137]\).
4-
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \((E)\) : \(\ x^{19}\equiv 1\ [137]\).
FIN