CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte cinq exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’EXERCICE1 se rapporte à l’analyse ………………………… (7.75 pts)
- L’EXERCICE2 se rapporte à l’analyse ………………………… (2.25 pts)
- L’EXERCICE3 se rapporte aux nombres complexes……… (3.5 pts)
- L’EXERCICE4 se rapporte à l’arithmétique ………………… (3 pts)
- L’EXERCICE5 se rapporte aux structures algébriques…… (3.5 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (7.75 points)
Partie I
-
1-a)
Montrer que : \(\forall t\in[0,+\infty[\ ;\)
\[
\frac{4}{(2+t)^2}\le \frac{1}{1+t}\le \frac12\left(1+\frac{1}{(1+t)^2}\right).
\]
-
1-b)
En déduire que : \(\forall x\in[0,+\infty[\ ;\)
\[
\frac{2x}{2+x}\le \ln(1+x)\le \frac12\left(\frac{x^2+2x}{1+x}\right).
\]
2-
Soit \(g\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.
\]
Montrer que :
\[
\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac12.
\]
Partie II
Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[
f(0)=1
\quad\text{et}\quad
\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ f(x)=g(x)e^{-x}.
\]
On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
1-
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
2-a)
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
-
2-b)
Vérifier que : \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\)
\[
\frac{f(x)-1}{x}
=\left(\frac{e^{-x}-1}{x}\right)g(x)+\left(\frac{g(x)-1}{x}\right).
\]
-
2-c)
En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et déterminer \(f'_d(0)\).
3-
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) puis que :
\[
\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ f'(x)=\frac{x-(1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\,e^{-x}.
\]
-
4-a)
Montrer que : \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\)
\[
-\frac{3}{2}<\frac{x-(1+x)^2\ln(1+x)}{x^2(1+x)}<0.
\]
-
4-b)
En déduire que : \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ -\dfrac{3}{2} <f'(x) < 0\).
-
5-a)
Dresser le tableau de variations de \(f\).
-
5-b)
Construire la courbe \((C)\) en faisant apparaître la demi-tangente à droite au point d’abscisse \(0\).
(On prendra \(\|\vec{i}\|=2\text{cm}\))
Partie III
1-
Montrer que l’équation d’inconnue \(x\) : \(\ f(x)=3x\), admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0,+\infty[\).
2-
Soient \(\beta\in\mathbb{R}_+\) et \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par :
\[
u_0=\beta \quad\text{et}\quad \forall n\in\mathbb{N}\ ;\ u_{n+1}=\frac{1}{3}\,f(u_n).
\]
-
2-a)
Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ u_n\ge 0\).
-
2-b)
Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|\).
-
2-c)
Montrer par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ |u_n-\alpha|\le \left(\dfrac12\right)^n|\beta-\alpha|\).
-
2-d)
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\alpha\).
EXERCICE 2 : (2.25 points)
On considère la fonction numérique : \(x\mapsto e^x\) et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et pour tout \(k\in\{0;1;\ldots;n\}\), on note \(M_k\) le point de la courbe \((\Gamma)\) de coordonnées
\(
\left(\frac{k}{n}\ ;\ e^{\frac{k}{n}}\right).
\)
-
1-a)
Montrer que : \(\forall k\in\{0;1;\ldots;(n-1)\}\ \exists c_k\in\left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right[\) tel que :
\(
e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}=\dfrac{1}{n}\,e^{c_k}.
\)
-
1-b)
Montrer que : \(\forall k\in\{0;1;\ldots;(n-1)\}\ ;\ M_kM_{k+1}=\dfrac{1}{n}\sqrt{1+e^{2c_k}}\).
(\(M_kM_{k+1}\) désigne la distance de \(M_k\) à \(M_{k+1}\))
-
1-c)
En déduire que : \(\forall k\in\{0;1;\ldots;(n-1)\}\ ;\)
\[
\frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\ \le\ M_kM_{k+1}\ \le\ \frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}.
\]
2-
Soit \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) la suite numérique définie par : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\ ;\ S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}M_kM_{k+1}\).
-
2-a)
Vérifier que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\ ;\)
\[
\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}
\ \le\ S_n\ \le\
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}.
\]
-
2-b)
En déduire que :
\[
\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_{0}^{1}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx.
\]
EXERCICE 3 : (3.5 points)
On considère le nombre complexe : \(\ u=1+(2-\sqrt{3})i\).
-
1-a)
Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : \(1-i\) et \(1+\sqrt{3}i\).
-
1-b)
Montrer que :
\(
\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi}{12}}.
\)
-
1-c)
En déduire que :
\(
\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt{3}.
\)
-
1-d)
Montrer que :
\(
u=(\sqrt{6}-\sqrt{2})\,e^{i\frac{\pi}{12}}.
\)
2-
On considère les deux suites numériques \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définies par :
\[
x_0=1,\quad y_0=0\quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\ ;\
\begin{cases}
x_{n+1}=x_n-(2-\sqrt{3})\,y_n\\
y_{n+1}=(2-\sqrt{3})\,x_n+y_n
\end{cases}
\]
-
2-a)
Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(\ x_n+iy_n=u^n\).
-
2-b)
En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[
x_n=\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)^n}
\quad\text{et}\quad
y_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{12}\right)}{\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)^n}.
\]
3-
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{e_1},\vec{e_2})\).
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(A_n\) le point d’affixe \(u^n\).
-
3-a)
Déterminer les entiers \(n\) pour lesquels les points \(O\), \(A_0\) et \(A_n\) sont alignés.
-
3-b)
Montrer que pour tout entier \(n\), le triangle \(OA_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\).
EXERCICE 4 : (3 points)
Soit \(p\) un nombre premier impair. On considère dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \((E)\) :
\(
x^2\equiv 2\ [p].
\)
-
1-a)
Montrer que : \(\ 2^{p-1}\equiv 1\ [p]\).
-
1-b)
En déduire que :
\(
2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]\ \ \text{ou}\ \ 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p].
\)
(On remarque que : \(\left(2^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(2^{\frac{p-1}{2}}+1\right)=2^{p-1}-1\))
2-
Soit \(x\) une solution de l’équation \((E)\).
-
2-a)
Montrer que \(p\) et \(x\) sont premiers entre eux.
-
2-b)
En déduire que :
\[
2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p].
\]
(On pourra utiliser le théorème de Fermat)
3-
Montrer que pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,p-1\}\), \(p\) divise \(C_p^k\).
(On rappelle que : \((\forall k\in\{1,2,\ldots,p-1\})\ \ C_p^k=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}\ \ \text{et que :}\ \ kC_p^k=pC_{p-1}^{k-1}\))
-
4-a)
En utilisant la formule de Moivre, montrer que :
\[
(1+i)^p=2^{\frac{p}{2}}\cos\left(\frac{p\pi}{4}\right)+i\,2^{\frac{p}{2}}\sin\left(\frac{p\pi}{4}\right)
\]
( \(i\) étant le nombre complexe tel que : \(i^2=-1\) )
-
4-b)
On admet que :
\[
(1+i)^p=\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^k\,C_p^{2k}
\ +\ i\sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^k\,C_p^{2k+1}.
\]
Montrer que : \(2^{\frac{p}{2}}\cos\left(\frac{p\pi}{4}\right)\in\mathbb{Z}\) et
\(2^{\frac{p}{2}}\cos\left(\frac{p\pi}{4}\right)\equiv 1\ [p]\)
(on pourra utiliser la question 3-)
5-
En déduire que si \(p\equiv 5\ [8]\) alors l’équation \((E)\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{Z}\).
EXERCICE 5 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_2(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau non commutatif de zéro la matrice
\(
O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
\)
et d’unité la matrice
\(
I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},
\)
et que \(\big(M_2(\mathbb{R}),+,.\big)\) est un espace vectoriel réel.
On considère l’ensemble
\[
E=\left\{\,M(x,y)=
\begin{pmatrix}
x+y & y\\
2y & x-y
\end{pmatrix}\ \Big/\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}.
\]
Partie I :
1-
Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \(\big(M_2(\mathbb{R}),+\big)\).
2-
Montrer que \(E\) est un sous- espace vectoriel de \(\big(M_2(\mathbb{R}),+,.\big)\).
-
3-a)
Vérifier que : \(\forall(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4\ ;\)
\[
M(x,y)\times M(x',y')=M(xx'+3yy',\ xy'+yx').
\]
-
3-b)
En déduire que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif et unitaire.
-
4-a)
Vérifier que :
\(
M(\sqrt{3},1)\times M(-\sqrt{3},1)=O.
\)
-
4-b)
En déduire que \((E,+,\times)\) n’est pas un corps.
Partie II :
Soient
\[
F=\{x+y\sqrt{3}\ /\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\}
\quad\text{et}\quad
G=\left\{\,M(x,y)=
\begin{pmatrix}
x+y & y\\
2y & x-y
\end{pmatrix}\ \Big/\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}.
\]
1-
Montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\ ;\ x+y\sqrt{3}=0\) si et seulement si \((x=0\ \text{et}\ y=0)\).
2-
Montrer que \(F-\{0\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R}^*,\times)\).
3-
Soit \(\varphi\) l’application définie de \(F-\{0\}\) vers \(E\) par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\ ;\ \varphi(x+y\sqrt{3})=M(x,y).
\]
-
3-a)
Vérifier que : \(\varphi(F-\{0\})=G-\{O\}\).
-
3-b)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((F-\{0\},\times)\) vers \((E,\times)\).
-
3-c)
En déduire que \((G-\{O\},\times)\) est un groupe commutatif.
4-
Montrer que \((G,+,\times)\) est un corps commutatif.
FIN