CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte quatre exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’exercice1 se rapporte à l’analyse ………………………… (10 pts)
- L’exercice2 se rapporte aux nombres complexes……… (3.5 pts)
- L’exercice3 se rapporte aux structures algébriques …… (3.5 pts)
- L’exercice4 se rapporte à l’arithmétique ………………… (3 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (10 points)
Partie I
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur
\(I=[0,+\infty[\) par :
\[
f_n(0)=0
\quad\text{et}\quad
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ f_n(x)=\sqrt{x}\,(\ln x)^n
\]
et soit \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).
-
1-a)
Vérifier que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\)
\(
\sqrt{x}(\ln x)^n=(2n)^n\left(x^{\frac{1}{2n}}\ln\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)\right)^n,
\)
en déduire que \(f_n\) est continue à droite en \(0\).
-
1-b)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f_n(x)\).
-
1-c)
Vérifier que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\)
\(
\dfrac{f_n(x)}{x}=(2n)^n\left(\dfrac{\ln\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)}{x^{\frac{1}{2n}}}\right)^n,
\)
en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
1-d)
Calculer, suivant la parité de \(n\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)}{x}\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
2-a)
Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ f_n'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n+\ln x).
\]
-
2-b)
Vérifier que : \(\forall n\ge 2,\ f_n'(x)=0\) si et seulement si \((x=1\ \text{ou}\ x=e^{-2n})\).
-
2-c)
Étudier, suivant la parité de \(n\), le sens de variation de \(f_n\) et donner son tableau de variations.
-
2-d)
Montrer que si \(n\) est impair et \(n\ge 3\) alors le point d’abscisse \(1\) est un point d’inflexion de \((C_n)\).
Partie II
1- Soit \(\beta\in]1,e[\) un réel fixé. On considère la suite numérique \((u_n)_{n\ge 1}\) définie par :
\(
(\forall n\in\mathbb{N}^*) ;\ u_n=f_n(\beta)
\)
-
1-a)
Montrer que : \(
(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ ;\ 0 < u_n <\sqrt{e}
\).
-
1-b)
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge 1}\) est décroissante.
-
1-c)
Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
-
2-a)
Montrer que pour tout entier \(n\) non nul, il existe un unique réel \(x_n\in]1,e[\) tel que :
\(
f_n(x_n)=1.
\)
-
2-b)
Montrer que la suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) ainsi définie est croissante, en déduire qu’elle est convergente.
3- On pose : \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n\)
-
3-a)
Montrer que : \(1<\ell\le e\).
-
3-b)
Montrer que :
\(
\lim_{n\to+\infty}(\ln x_n)^n=\dfrac{1}{\sqrt{\ell}}.
\)
-
3-c)
Montrer que si \(\ell < e\) alors
\(
\lim_{n\to+\infty} n\ln(\ln x_n)=-\infty.
\)
-
3-d)
En déduire la valeur de \(\ell\).
Partie III
On pose pour tout \(x\in I\), \(\ F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}\big(f_1(t)\big)^2\,dt\).
-
1-a)
Montrer que la fonction \(F\) est continue sur \(I\).
-
1-b)
En utilisant une double intégration par parties, montrer que :
\[
(\forall x\in]0,+\infty[)\ ;\ F(x)=-\frac{x^2}{2}\ln^2(x)+\frac{x^2}{2}\ln(x)+\frac{1}{4}(1-x^2).
\]
-
2-a)
Calculer \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} F(x)\).
-
2-b)
En déduire la valeur de \(F(0)\).
-
2-c)
Calculer, en cm\(^3\), le volume du solide engendré par la rotation d’un tour complet autour de l’axe des abscisses
de la portion de la courbe \((C_1)\) relative à l’intervalle \([0,1]\).
(On prendra \(\|\vec{i}\|=1\text{cm}\))
EXERCICE 2 : (3.5 points)
Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment.
PARTIE I :
On considère dans \(\mathbb{R}_+^2\) le système suivant :
\[
(S):\begin{cases}
\sqrt{x}\left(1+\dfrac{1}{x+y}\right)=\dfrac{12}{5}\\[2mm]
\sqrt{y}\left(1-\dfrac{1}{x+y}\right)=\dfrac{4}{5}
\end{cases}
\]
1-
Soit \((x,y)\in\mathbb{R}_+^2\) une solution du système \((S)\). On pose : \(z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\).
-
1-a)
Montrer que : \(z+\dfrac{1}{z}=\dfrac{12}{5}+\dfrac{4}{5}i\).
-
1-b)
Montrer que :
\(
z^2-\left(\dfrac{12}{5}+\dfrac{4}{5}i\right)z+1=0,
\)
en déduire les valeurs possibles de \(z\).
(On remarque que : \(\dfrac{28}{25}+\dfrac{96}{25}i=\left(\dfrac{2}{5}(4+3i)\right)^2\))
-
1-c)
En déduire les valeurs du couple \((x,y)\).
2-
Résoudre dans \(\mathbb{R}_+^2\) le système \((S)\).
PARTIE II :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
Soit \((U)\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) et \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) trois points du cercle \((U)\) deux à deux distincts.
1-
Montrer que : \((\forall z\in\mathbb{C})\ ;\ |z|=1 \iff \overline{z}=\dfrac{1}{z}\).
-
2-a)
La droite passant par \(A\) et parallèle à \((BC)\) coupe le cercle \((U)\) au point \(P(p)\).
Montrer que : \(\displaystyle p=\frac{bc}{a}\).
-
2-b)
La droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\) coupe le cercle \((U)\) au point \(Q(q)\). Montrer que : \(q=-p\).
-
2-c)
La droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\) coupe le cercle \((U)\) au point \(R(r)\).
Montrer que les deux droites \((PR)\) et \((OB)\) sont perpendiculaires.
EXERCICE 3 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_3(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire et non commutatif d’unité
\(
I=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
\)
Soit
\[
E=\left\{\,M(a,b,c)=
\begin{pmatrix}
a&0&0\\
0&b&-c\\
0&c&b
\end{pmatrix}
\ \Big/\ (a,b,c)\in\mathbb{R}^3\right\}.
\]
1-
Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \(\big(M_3(\mathbb{R}),+\big)\).
2- On munit l’ensemble \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[
\forall\big((x,z),(x',z')\big)\in(\mathbb{R}\times\mathbb{R})^2:\ (x,z)*(x',z')=(x+x',z+z')
\]
et on considère l'application \(\varphi\) définie de \(E\) vers \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) par :
\[
\forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^3,\ \varphi(M(a,b,c))=(a,b+ci).
\]
-
2-a)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((E,+)\) vers \((\mathbb{R}\times\mathbb{R},*)\) et que \(\varphi(E)=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).
-
2-b)
En déduire que \((\mathbb{R}\times\mathbb{R},*)\) est un groupe commutatif.
3- On munit \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[
\forall\big((x,z),(x',z')\big)\in(\mathbb{R}\times\mathbb{R})^2:\ (x,z)\,T\,(x',z')=\big(x\mathrm{Re}(z')+x'\mathrm{Re}(z),\ zz'\big)
\]
\[
(\mathrm{Re}(z)\ \text{désigne la partie réelle du nombre complexe }z)
\]
-
3-a)
Montrer que \(T\) est commutative.
-
3-b)
Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre de \(T\) dans \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).
-
3-c)
Vérifier que \(\forall x\in\mathbb{R}\), \((1,i)\,T\,(x,-i)=(0,1)\) ; en déduire que \(T\) est non associative dans \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).
4- Soit \(G=\{(\mathrm{Im}(z),z)\ /\ z\in\mathbb{C}\}\)
\[
(\mathrm{Im}(z)\ \text{désigne la partie imaginaire du nombre complexe }z)
\]
-
4-a)
Montrer que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathbb{R}\times\mathbb{C},*)\).
(On remarque que \((-\mathrm{Im}(z),-z)\) est le symétrique de \((\mathrm{Im}(z),z)\) pour la loi \(*\))
-
4-b)
Soit \(\psi\) l'application définie de \(\mathbb{C}^*\) vers \(\mathbb{R}\times\mathbb{C}\) par :
\(\forall z\in\mathbb{C}^*\) ; \(\psi(z)=(\mathrm{Im}(z),z)\).
Montrer que \(\psi\) est un homomorphisme de \((\mathbb{C}^*,\times)\) vers \((\mathbb{R}\times\mathbb{C},T)\).
-
4-c)
En déduire que \((G-\{(0,0)\},T)\) est un groupe commutatif.
5-
Montrer que \((G,*,T)\) est un corps commutatif.
EXERCICE 4 : (3 points)
Soit \(p\) un nombre premier impair. On pose :
\[
S=1+p+p^2+p^3+\cdots+p^{p-1}.
\]
Soit \(q\) un nombre premier qui divise \(S\).
-
1-a)
Montrer que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux.
-
1-b)
En déduire que : \(p^{q-1}\equiv 1\ [q]\).
-
1-c)
Vérifier que : \(p^p-1=(p-1)S\), en déduire que : \(p^p\equiv 1\ [q]\).
2- On suppose que \(p\) et \(q-1\) sont premiers entre eux.
-
2-a)
En utilisant le théorème de Bézout, montrer que : \(p\equiv 1\ [q]\).
-
2-b)
En déduire que \(S\equiv 1\ [q]\).
3-
Montrer que : \(q\equiv 1\ [p]\).
FIN