EXERCICE 1 : (7.5 points)
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :
\[
f(1)=\frac{1}{2}
\quad\text{et pour tout }x\in]1,+\infty[,\quad
f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}.
\]
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec{i},\vec{j})\).
1-
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(1\).
2-
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
3-a)
Soit \(x\in]1,+\infty[\).
En posant : \(t=(x-1)^2\), vérifier que :
\[
\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=\frac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}.
\]
-
3-b)
Montrer que \(\big(\forall t\in]0,+\infty[\big)\) :
\[
-\frac{1}{2}<\frac{-\sqrt{t}+\ln(1+\sqrt{t})}{t}<-\frac{1}{2(1+\sqrt{t})}.
\]
(On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l’intervalle \([0;t]\))
-
3-c)
En déduire que :
\[
\lim_{x\to1^+}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\frac{1}{2}.
\]
-
4-a)
Montrer que : \(\forall x\in]1,+\infty[\),
\[
\frac{f(x)-\frac12}{x-1}
=-\frac{\ln(x)}{x-1}\times\frac{1}{2(x+1)}
+\frac{\ln(x)-x+1}{2(x-1)^2}.
\]
-
4-b)
En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(1\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Pour tout \(x\in[1,+\infty[\) on pose
\(I(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{t^2-1}{t^3}\,dt\)
et
\(J(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{t^2-1}{t^2}\,dt\).
-
5-a)
Montrer que : \(\forall x\in[1,+\infty[\), \(0\le I(x)\le J(x)\).
-
5-b)
Montrer que pour tout \(x\in[1,+\infty[\),
\[
I(x)=\ln(x)-\frac{x^2-1}{2x^2}
\quad\text{et}\quad
J(x)=\frac{(x-1)^2}{x}.
\]
-
5-c)
Montrer que : \(\forall x\in]1,+\infty[\),
\[
f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}\times\frac{I(x)}{J(x)}.
\]
-
5-d)
En déduire que : \(\forall x\in]1,+\infty[\), \(-\dfrac12\le f'(x)\le 0\).
-
6-a)
Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
-
6-b)
Tracer la courbe \((C)\)
(On prendra \(\|\vec{i}\|=1\text{cm}\) et \(\|\vec{j}\|=2\text{cm}\)).
7-
Montrer que l’équation \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\).
8- Soit \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par :
\[
a_0\in[1,+\infty[
\quad\text{et}\quad
\text{pour tout }n\in\mathbb{N},\quad a_{n+1}=1+f(a_n).
\]
-
8-a)
Montrer que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\),
\[
|a_{n+1}-a|\le \frac12\,|a_n-a|.
\]
-
8-b)
Montrer par récurrence que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\),
\[
|a_n-a|\le \left(\frac12\right)^n|a_0-a|.
\]
-
8-c)
En déduire que la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est convergente.
EXERCICE 2 : (2.5 points)
Soit \(F\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([0;1]\) par :
\(
F(x)=\int_{0}^{x} e^{t^2}\,dt.
\)
-
1-a)
Montrer que \(F\) est continue, strictement croissante sur \([0;1]\).
-
1-b)
En déduire que \(F\) est une bijection de \([0;1]\) vers \([0;\beta]\) avec
\(
\beta=\int_{0}^{1} e^{t^2}\,dt.
\)
2- On note \(F^{-1}\) la bijection réciproque de \(F\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on pose :
\[
S_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\!\left(\frac{k}{n}\beta\right).
\]
-
2-a)
Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est convergente de limite
\(
\ell=\dfrac{1}{\beta}\int_{0}^{\beta}F^{-1}(t)\,dt.
\)
-
2-b)
Montrer que
\(
\ell=\dfrac{1}{\beta}\int_{0}^{1}u\,e^{u^2}\,du
\)
(On pourra effectuer le changement de variable \(u=F^{-1}(t)\)).
-
2-c)
En déduire que :
\(
\ell=\dfrac{e-1}{2\beta}.
\)
EXERCICE 3 : (3.5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\).
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E_{\alpha}):\ z^2-2iz+\alpha=0
\qquad\text{où }\alpha\in\mathbb{C}.
\]
Partie I
-
1-a)
Montrer que le discriminant de l’équation \((E_{\alpha})\) est
\(
\Delta=-4(1+\alpha).
\)
-
1-b)
Déterminer l’ensemble des valeurs \(\alpha\) pour lesquelles l’équation \((E_{\alpha})\) admet
dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) deux solutions distinctes.
2-
On note \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E_{\alpha})\).
Déterminer \(z_1+z_2\) et \(z_1z_2\).
Partie II
Soient \(\Omega\), \(M_1\) et \(M_2\) les points d’affixes respectivement \(\alpha\), \(z_1\) et \(z_2\).
-
1-a)
On suppose que \(\alpha=m^2-2m\) avec \(m\in\mathbb{R}\).
Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) en fonction de \(m\).
-
1-b)
En déduire que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) sont alignés.
2- On suppose que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) ne sont pas alignés.
-
2-a)
Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si
\(
\mathrm{Re}\!\big(z_1\overline{z_2}\big)=0.
\)
-
2-b)
Montrer que :
\(
|z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\,\mathrm{Re}\!\big(z_1\overline{z_2}\big).
\)
-
2-c)
En déduire que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si
\(
|z_1-z_2|=2.
\)
-
3-a)
Montrer que : \((z_1-z_2)^2=\Delta\).
-
3-b)
Déterminer l’ensemble \(\Gamma\) des points \(\Omega\) pour que le triangle \(OM_1M_2\) soit rectangle en \(O\).
EXERCICE 4 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_2(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire non commutatif de zéro la matrice
\(
O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
\)
et d’unité la matrice
\(
I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
\)
On considère dans \(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\) la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[
\forall\big((a,b),(c,d)\big)\in(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*)^2:\quad
(a,b)\,T\,(c,d)=\big(a\overline{d}+c,\;bd\big)
\]
\[
(\overline{d}\ \text{étant le conjugué du nombre complexe }d).
\]
-
1-a)
Vérifier que \((i,2)\,T\,(1,i)=(3,2i)\), puis calculer \((1,i)\,T\,(i,2)\).
-
1-b)
En déduire que la loi \(T\) n’est pas commutative dans \(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\).
2-
Montrer que la loi \(T\) est associative dans \(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\).
3-
Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\) dans \(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\).
-
4-a)
Vérifier que \(\forall(a,b)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*:\)
\(
(a,b)\,T\left(-\dfrac{a}{\overline{b}},\;\dfrac{1}{\overline{b}}\right)=(0,1).
\)
-
4-b)
Montrer que \(\big(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T\big)\) est un groupe non commutatif.
-
5-a)
Montrer que \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*\) est stable par la loi de composition interne \(T\).
-
5-b)
Montrer que \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*\) est un sous-groupe du groupe \(\big(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*,T\big)\).
EXERCICE 5 : (3 points)
Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers distincts et \(r\) un entier naturel premier avec \(p\) et avec \(q\).
-
1-a)
Montrer que \(p\) divise \(r^{p-1}-1\) et que \(q\) divise \(r^{q-1}-1\).
-
1-b)
En déduire que \(p\) et \(q\) divisent \(r^{(p-1)(q-1)}-1\).
-
1-c)
Montrer que \(pq\) divise \(r^{(p-1)(q-1)}-1\).
2-
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation
\(
2024^{192}x\equiv 3\ [221]
\)
(On donne : \(221=13\times17\))
FIN