CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte cinq exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- EXERCICE 1 : Analyse (6.5 pts)
- EXERCICE 2 : Analyse (3.5 pts)
- EXERCICE 3 : Nombres complexes (3.5 pts)
- EXERCICE 4 : Structures algébriques (3.5 pts)
- EXERCICE 5 : Arithmétique (3 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (6.5 points)
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
On considère la fonction numérique \(f_n\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[
f_n(0)=0
\qquad\text{et}\qquad
\forall x\in]0,+\infty[,\; f_n(x)=x-x^n\ln x.
\]
Et on note \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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1)a)
Montrer que \(f_n\) est continue à droite en \(0\).
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1)b)
Montrer que : \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f_n(x)=-\infty\) et
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}{x}=-\infty\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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1)c)
Montrer que \(f_n\) est dérivable à droite en \(0\) et que son nombre dérivé à droite en \(0\) est égal à \(1\).
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1)d)
Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que :
\[
\forall x\in]0,+\infty[,\qquad f_n'(x)=1-x^{n-1}-n x^{\,n-1}\ln x.
\]
-
1)e)
Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([0,1]\) et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\).
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2)a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 2\), on a :
\[
\forall x\in[0,+\infty[,\qquad f_{n+1}(x)\le f_n(x).
\]
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2)b)
En déduire la position relative des deux courbes \((C_n)\) et \((C_{n+1})\).
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3)a)
Montrer que pour tout \(n\ge 2\), il existe un unique réel \(\alpha_n\in]1,2[\) tel que \(f_n(\alpha_n)=0\).
(On prendra \(\ln 2 = 0.7\).)
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3)b)
Vérifier que \(\forall n\ge 2,\; \alpha_{n+1}^{\,n}\,\ln(\alpha_{n+1})=1\).
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3)c)
En déduire que pour tout \(n\ge 2\), \(f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}-1\).
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3)d)
Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\ge 2}\) ainsi définie est strictement décroissante.
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3)e)
En déduire que la suite \((\alpha_n)_{n\ge 2}\) est convergente.
On pose : \(\displaystyle \ell=\lim_{n\to+\infty}\alpha_n\).
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4)a)
Montrer que : \(1\le \ell \le 2\).
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4)b)
Montrer que pour tout \(n\ge 2\) :
\[
n-1=-\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}.
\]
-
4)c)
On suppose que \(\ell>1\). Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}\) en fonction de \(\ell\).
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4)d)
En déduire la valeur de la limite \(\ell\).
EXERCICE 2 : (3.5 points)
-
1)a)
Calculer l’intégrale :
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
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1)b)
Pour tout entier \(n\ge 1\), on pose :
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}.
\]
Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge 1}\) est convergente puis déterminer sa limite.
2)
Montrer que :
\[
\int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2}\,dx \le 1.
\]
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3)a)
Montrer que :
\[
\forall x\in[0,1],\qquad 0\le e^x-1 \le e\,x.
\]
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3)b)
En déduire que :
\[
\forall x\in[0,1],\qquad 0\le e^x-1-x \le \frac{e}{2}x^2.
\]
Pour tout entier \(n\ge 1\), on pose :
\[
w_n=\sum_{k=1}^{n}\left(e^{\frac{n}{n^2+k^2}}-1\right).
\]
-
4)a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 1\), on a :
\[
0\le w_n-u_n \le \frac{e}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^2.
\]
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4)b)
Montrer que la fonction \(x\mapsto(1+x^2)^{-2}\) est strictement décroissante sur \([0,1]\).
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4)c)
En déduire que pour tout entier \(n\ge 1\) et tout entier \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\), on a :
\[
\frac{1}{n}\left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^2\right)^{-2}
\le
\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}(1+x^2)^{-2}\,dx.
\]
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5)a)
Montrer que pour tout entier \(n\ge 1\), on a :
\[
0\le w_n-u_n \le \frac{e}{2n}.
\]
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5)b)
En déduire que la suite \((w_n)_{n\ge 1}\) est convergente et déterminer sa limite.
EXERCICE 3 : (3.5 points)
Soit \(m\in\mathbb{C}^*\).
Partie I
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E):\quad z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0.
\]
-
1)a)
Vérifier que le discriminant de \((E)\) est : \(\Delta=(im)^2\).
-
1)b)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\).
2)
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de \((E)\).
Mettre sous la forme exponentielle \(z_1\overline{z_2}\) dans le cas où \(m=re^{i\theta}\)
\(\big(r\in\mathbb{R}_+^*,\; \theta\in\mathbb{R}\big)\).
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{e_1},\vec{e_2})\).
On pose \(z_1=m\) et \(z_2=m(1+i)\).
Soit \(M_1\) le point d’affixe \(z_1\), \(M_2\) le point d’affixe \(z_2\) et \(M_3(z_3)\) l’image du point \(O\)
par la rotation de centre \(M_2\) et d’angle \(\left(-\frac{\pi}{2}\right)\),
et \(M_4(z_4)\) l’image du point \(M_1\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\)
\(\big(k\in\mathbb{R}^*\setminus\{1\}\big)\).
1)
Calculer \(z_3\) en fonction de \(m\) et \(z_4\) en fonction de \(m\) et \(k\).
2)
Donner la forme algébrique de :
\[
\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}.
\]
3)
En déduire que les points \(M_1,M_2,M_3\) et \(M_4\) sont cocycliques si et seulement si \(k=-2\).
EXERCICE 4 : (3.5 points)
On munit l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes de la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[
\forall(x,x',y,y')\in\mathbb{R}^4,\qquad (x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y^5x')+i\,yy'.
\]
Partie I
-
1)a)
Vérifier que : \(1*2i=2\).
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1)b)
Montrer que la loi de composition interne \(*\) n’est pas commutative.
2)
Montrer que la loi \(*\) est associative.
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3)a)
Vérifier que : \(1*(1+2i)=2\).
-
3)b)
En déduire que \((\mathbb{C},*)\) n’est pas un groupe.
Soit \(E\) le sous-ensemble de \(\mathbb{C}\) défini par :
\[
E=\{x+yi\;/\;x\in\mathbb{R}\ \text{et}\ y\in\mathbb{R}^*\}.
\]
-
4)a)
Montrer que \(E\) est stable dans \((\mathbb{C},*)\).
-
4)b)
Montrer que \((E,*)\) est un groupe non commutatif.
Partie II
On considère les sous-ensembles de \(E\) définis par :
\[
F=\{yi\;/\;y\in\mathbb{R}^*\}\qquad\text{et}\qquad
G=\{x+i\;/\;x\in\mathbb{R}\}.
\]
1)
Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\).
On considère l’application \(\varphi\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{C}\) par :
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad \varphi(x)=x+i.
\]
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2)a)
Montrer que : \(\varphi(\mathbb{R})=G\).
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2)b)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb{R},+)\) vers \((\mathbb{C},*)\).
-
2)c)
En déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif.
EXERCICE 5 : (3 points)
1)
En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer l’entier \(u\in\{1,2,\ldots,22\}\) tel que :
\(
10u\equiv 1\ [23].
\)
Soient \(m\) un entier naturel et \(q\) et \(r\), respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de \(m\) par \(10\).
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2)a)
Montrer que : \(m\equiv 10(q+ur)\ [23]\).
-
2)b)
Montrer que : \(23\) divise \(m\iff 23\) divise \((q+ur)\).
On considère dans \(\mathbb{N}\) le système \((S)\) :
\[
\begin{cases}
x\equiv 1\ [23]\\
x\equiv 2\ [10]
\end{cases}
\]
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3)a)
Montrer que si \(x\) est une solution du système \((S)\) alors il existe \(q\in\mathbb{N}\) tel que
\(x=10q+2\) et \(23\) divise \((q+7)\).
-
3)b)
Résoudre dans \(\mathbb{N}\) le système \((S)\).
FIN