CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte quatre exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- EXERCICE 1 : Analyse (10 pts)
- EXERCICE 2 : Nombres complexes (3.5 pts)
- EXERCICE 3 : Arithmétique (3 pts)
- EXERCICE 4 : Structures algébriques / Matrices (3.5 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (10 points)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x)=\frac{e^{x}}{e^{2x}+e}
\]
et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Partie I
-
1-
a)
Montrer que : \(\big(\forall x\in\mathbb{R}\big)\,;\ f(1-x)=f(x)\).
-
1-
b)
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
1-
c)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)\) puis en déduire \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)\).
-
1-
d)
Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus.
-
2-
a)
Montrer que : \(\big(\forall x\in\mathbb{R}\big)\,;\
f'(x)=f(x)\,\dfrac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}\).
-
2-
b)
Donner les variations de \(f\) puis en déduire que : \(\big(\forall x\in\mathbb{R}\big)\,;\ 0<f(x)<\dfrac12\).
3-
Représenter graphiquement la courbe \((\Gamma)\).
(On prendra \(\|\vec{i}\|=1\text{ cm}\), \(\|\vec{j}\|=2\text{ cm}\) et
\(\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\simeq 0.30\) et \(\dfrac{1}{1+e}\simeq 0.27\).)
-
4-
a)
Montrer que : \(\displaystyle \int_{0}^{\frac12} f(x)\,dx=\int_{\frac12}^{1} f(x)\,dx\).
-
4-
b)
En déduire que : \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=2\int_{0}^{\frac12} f(x)\,dx\).
-
5-
a)
En effectuant le changement de variables \(t=e^{x}\), montrer que :
\[
\int_{0}^{\frac12} f(x)\,dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{dt}{t^{2}+e}.
\]
-
5-
b)
Montrer que : \(\displaystyle \int_{0}^{\frac12} f(x)\,dx=\frac{1}{\sqrt{e}}\Big(\arctan(\sqrt{e})-\frac{\pi}{4}\Big)\).
-
5-
c)
En déduire l’aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine plan délimité par \((\Gamma)\), les droites
d’équations respectives : \(x=0\), \(x=1\) et \(y=0\).
Partie II
On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \(u_0\in\big]0;\frac12\big[\) et
\(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\,;\ u_{n+1}=f(u_n)\).
1-
En utilisant le résultat de la question I.2-a), montrer que :
\(\big(\forall x\in\mathbb{R}\big)\,;\ |f'(x)|\le f(x)\).
-
2-
a)
Montrer que : \(\big(\forall x\in\big[0;\frac12\big]\big)\,;\ 0\le f'(x)<\frac12\).
-
2-
b)
Montrer que la fonction \(g:x\mapsto g(x)=f(x)-x\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
-
2-
c)
En déduire qu’il existe un unique réel \(\alpha\in\big]0;\frac12\big[\) tel que : \(f(\alpha)=\alpha\).
-
3-
a)
Montrer que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\,;\ 0<u_n<\dfrac12\).
-
3-
b)
Montrer que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\,;\ |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac12|u_n-\alpha|\).
-
3-
c)
Montrer par récurrence que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\,;\ |u_n-\alpha|\le \left(\dfrac12\right)^{n+1}\).
-
3-
d)
En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers \(\alpha\).
Partie III
On considère la suite numérique \((S_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[
\big(\forall n\in\mathbb{N}^\ast\big)\,;\
S_n=\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{e^{k/n}+e^{(n-k)/n}}.
\]
-
1-
a)
Vérifier que : \(\big(\forall n\in\mathbb{N}^\ast\big)\,;\
S_n=\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\,f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\).
-
1-
b)
Montrer que : \(\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x)\,dx=\int_{0}^{\frac12} f(x)\,dx\).
(On pourra effectuer le changement de variables : \(t=1-x\).)
2-
Montrer que la suite \((S_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
EXERCICE 2 : (3.5 points)
Soit \(\alpha\in[0;2\pi[\).
On considère dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\) l’équation \((E_\alpha)\) d’inconnue \(z\) :
\[
(E_\alpha):\quad z^2-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)\,z+i\,2^{2\alpha+1}e^{i2\alpha}=0.
\]
Partie I
-
1-
a)
Vérifier que le discriminant de l’équation \((E_\alpha)\) est :
\(\displaystyle \Delta_\alpha=\big(2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)\big)^2\).
-
1-
b)
En déduire les deux solutions \(a\) et \(b\) de l’équation \((E_\alpha)\) avec \(|a|<|b|\).
2-
Vérifier que \(\dfrac{b}{a}\) est un imaginaire pur.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
On note par \(M(z)\) le point d’affixe le nombre complexe \(z\).
On pose \(\dfrac{b}{a}=\lambda i\) avec \(\lambda=\mathrm{Im}\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\).
-
1-
a)
On considère les points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(H(h)\) avec \(\dfrac1h=\dfrac1a+\dfrac1b\).
Montrer que : \(\displaystyle \frac{h}{b-a}=-\left(\frac{\lambda}{\lambda^2+1}\right)i\) puis en déduire que les droites \((OH)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.
-
1-
b)
Montrer que : \(\displaystyle \frac{h-a}{b-a}=\frac{1}{\lambda^2+1}\) puis en déduire que les points \(H,A,B\) sont alignés.
-
2-
a)
Soient \(I(m)\) le milieu du segment \([OH]\) et \(J(n)\) le milieu du segment \([HB]\).
Montrer que : \(\displaystyle \frac{n}{m-a}=-\lambda i\).
-
2-
b)
En déduire que les droites \((OJ)\) et \((AI)\) sont perpendiculaires et que \(OJ=|\lambda|\,AI\).
-
2-
c)
Soit \(K\) le point d’intersection des droites \((OJ)\) et \((AI)\).
Montrer que les points \(K,I,H,J\) sont cocycliques.
-
2-
d)
Montrer que les droites \((IJ)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.
EXERCICE 3 : (3 points)
Soient \(p\) un nombre premier impair et \(a\) un entier premier avec \(p\).
1-
Montrer que \(\displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]\) ou \(\displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]\).
-
2-
a)
On considère dans \(\mathbb{Z}\) l’équation : \(ax^2\equiv 1\ [p]\). Soit \(x_0\) une solution de cette équation.
Montrer que : \(\displaystyle x_0^{\,p-1}\equiv 1\ [p]\).
-
2-
b)
En déduire que : \(\displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]\).
-
3-
a)
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Montrer que si \(p\) divise \(2^{2n+1}-1\) alors \(2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]\).
-
3-
b)
En déduire que l’équation \((E)\) : \(11x+(2^{2n+1}-1)y=1\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\).
-
4-
a)
On considère dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \((F)\) : \(x^2+5x+2\equiv 0\ [11]\).
Montrer que : \((F)\iff 2(2x+5)^2\equiv 1\ [11]\).
-
4-
b)
En déduire que l’équation \((F)\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb{Z}\).
EXERCICE 4 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_3(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice
\(
O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
\)
et d’unité la matrice
\(
I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},
\)
et que \(\big(M_3(\mathbb{R}),+,\cdot\big)\) est un espace vectoriel réel.
Soient la matrice
\(
A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}
\)
et l’ensemble \(E=\{M(x)=I+xA\ /\ x\in\mathbb{R}\}\).
-
1-
a)
Vérifier que : \(A^2=-2A\).
-
1-
b)
En déduire que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\,;\ M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)\).
-
2-
a)
Calculer \(M\!\left(\dfrac12\right)\times
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
-
2-
b)
En déduire que la matrice \(M\!\left(\dfrac12\right)\) n’est pas inversible dans \(\big(M_3(\mathbb{R}),\times\big)\).
3-
Montrer que : \(E-\left\{M\!\left(\dfrac12\right)\right\}\) est stable pour la multiplication dans \(M_3(\mathbb{R})\).
(On pourra utiliser l’identité :
\(\left(x-\dfrac12\right)\left(y-\dfrac12\right)=-\dfrac12\left(x+y-2xy-\dfrac12\right)\).)
4-
Montrer que : \(\left(E-\left\{M\!\left(\dfrac12\right)\right\},\times\right)\) est un groupe commutatif.
On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\,;\ M(x)\,T\,M(y)=M\!\left(x+y-\frac12\right)
\]
et on considère l’application \(\varphi\) définie de \(\mathbb{R}\) vers \(E\) par :
\[
\forall x\in\mathbb{R}\,;\ \varphi(x)=M\!\left(\frac{1-x}{2}\right).
\]
-
5-
a)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb{R},+)\) vers \((E,T)\) et que \(\varphi(\mathbb{R})=E\).
-
5-
b)
En déduire que \((E,T)\) est un groupe commutatif.
6-
Montrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif.