CONSIGNES :
- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte cinq exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- EXERCICE 1 : Analyse (7.75 pts)
- EXERCICE 2 : Analyse (2.25 pts)
- EXERCICE 3 : Nombres complexes (3.5 pts)
- EXERCICE 4 : Arithmétique (3 pts)
- EXERCICE 5 : Structures algébriques (3.5 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé
EXERCICE 1 : (7.75 points)
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I=[0;+\infty[\) par :
\[
f(0)=0
\qquad\text{et}\qquad
f(x)=\frac{x^2\ln x}{x^2+1}\ \ \text{si }x\in]0;+\infty[
\]
Et soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).
-
1)
a)
Étudier la continuité de \(f\) à droite en \(0\).
-
1)
b)
Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
-
1)
c)
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par :
\[
\varphi(x)=x^2+1+2\ln x
\]
-
2)
a)
Dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
-
2)
b)
Montrer que l’équation \(\varphi(x)=0\) admet une solution unique \(\beta\) appartenant à l’intervalle
\(\left]\frac12;\frac1{\sqrt3}\right[\).
(On donne \(\ln 2\simeq 0.7\) et \(\ln 3\simeq 1.1\))
-
2)
c)
Montrer que : \(\displaystyle f(\beta)=-\frac{\beta^2}{2}\).
-
3)
a)
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et que, pour tout \(x\in]0;+\infty[\),
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x\varphi(x)}{(x^2+1)^2}\).
-
3)
b)
Donner le tableau de variations de \(f\).
-
3)
c)
Montrer que \(\displaystyle \frac1\beta\) est l’unique solution de l’équation \(f(x)=\frac12\) sur \(]\beta;+\infty[\).
-
3)
d)
Montrer que la droite d’équation \(\displaystyle y=\beta x-\frac12\) est la tangente à la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(\displaystyle \frac1\beta\).
4)
Représenter graphiquement la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
(On admet que la courbe \((C)\) possède deux points d’inflexion.)
Partie II
On pose \(J=]\sqrt3;2[\) et \(\alpha=\dfrac1\beta\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par :
\[
g(x)=\sqrt{e^{\,1+\frac1{x^2}}}
\]
-
1)
a)
Étudier les variations de \(g\).
-
1)
b)
Montrer que : \(\forall x\in J,\ \sqrt3<g(x)<2\).
(On donne \(\sqrt3\simeq 1.73\), \(e^{2/3}\simeq 1.95\) et \(e^{5/8}\simeq 1.87\))
-
2)
a)
En utilisant le résultat de la question I.3-c), montrer que : \(g(\alpha)=\alpha\).
-
2)
b)
Montrer que : \(\forall x\in J,\ |g'(x)|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}\).
-
2)
c)
En déduire que : \(\forall x\in J,\ |g(x)-\alpha|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}|x-\alpha|\).
On considère la suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[
x_0=\frac74
\qquad\text{et pour tout }n\in\mathbb{N},\quad
x_{n+1}=g(x_n).
\]
-
3)
a)
Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N},\ x_n\in J\).
-
3)
b)
Montrer par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb{N},\ |x_n-\alpha|\le \left(\dfrac{2}{3\sqrt3}\right)^n |x_0-\alpha|\).
-
3)
c)
En déduire que la suite \((x_n)\) converge vers \(\alpha\).
EXERCICE 2 : (2.25 points)
On considère la suite numérique \((u_n)_{n\ge 2}\) définie par : \[ u_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k}{n}\right). \]
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
- 1) a) Montrer que pour tout entier \(k\in\{1,2,\dots,n-1\}\) et pour tout réel \(x\in\left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right]\), on a : \[ \ln\left(\frac{k}{n}\right)\le \ln(x)\le \ln\left(\frac{k+1}{n}\right). \]
- 1) b) En déduire que : \[ \forall k\in\{1,2,\dots,n-1\},\quad \frac1n\ln\left(\frac{k}{n}\right) \le \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\ln(x)\,dx \le \frac1n\ln\left(\frac{k+1}{n}\right). \]
- 2) a) Montrer que : \[ \forall n\ge 2,\quad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1n\ln\left(\frac{k}{n}\right) \le \int_{\frac1n}^{1}\ln(x)\,dx \le \sum_{k=2}^{n}\frac1n\ln\left(\frac{k}{n}\right). \]
- 2) b) En déduire que : \[ \forall n\ge 2,\quad u_n\le \int_{\frac1n}^{1}\ln(x)\,dx \le u_n-\frac1n\ln\left(\frac1n\right). \]
- 2) c) Montrer que : \[ \forall n\ge 2,\quad -1+\frac1n\le u_n\le -1+\frac1n-\frac1n\ln\left(\frac1n\right). \]
- 2) d) Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n\).
EXERCICE 3 : (3.5 points)
Soit \(\theta\in[0,\pi[\).
Partie I : On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E_\theta)\) d’inconnue \(z\) :
\[
(E_\theta):\quad z^2+(1-i)e^{i\theta}z-ie^{i2\theta}=0.
\]
-
1)
a)
Vérifier que :
\[
(E_\theta)\iff \left(2z+(1-i)e^{i\theta}\right)^2=\left((1+i)e^{i\theta}\right)^2.
\]
-
—
b)
En déduire les deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E_\theta)\) avec \(\mathrm{Im}(z_1)\le 0\).
-
1)
a)
Montrer que :
\[
\frac{z_1+1}{z_2+i}=-\tan\left(\frac{\theta}{2}\right).
\]
-
—
b)
En déduire la forme exponentielle du nombre complexe :
\[
\frac{z_1+iz_2}{z_2+i}.
\]
Partie II : Dans le plan complexe \(P\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\),
on considère les points \(A,B,C\) d’affixes :
\[
a=e^{i\theta},\quad b=(1+i)e^{i\theta},\quad c=b-a.
\]
Soient \(m\) un nombre réel de \(]0;1[\), \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\),
et le point \(Q\) d’affixe \(q=me^{i\theta}\).
-
1)
a)
Déterminer l’affixe \(p\) du point \(P\) image de \(Q\) par la rotation \(R\).
-
1)
b)
Vérifier que : \(R(A)=C\).
Soit \(H\) le point d’affixe :
\[
h=\frac{m}{m-i}e^{i\theta}.
\]
-
2)
a)
Montrer que :
\[
\frac{p-a}{h}=\frac{m^2+1}{m}i
\quad\text{et}\quad
\frac{h-a}{p-a}=\frac{1}{m^2+1}.
\]
-
2)
b)
En déduire que \(H\) est le projeté orthogonal du point \(O\) sur la droite \((AP)\).
-
2)
c)
Montrer que : \(\displaystyle \frac{b-h}{q-h}=\frac{1}{m}i\).
-
2)
d)
En déduire que les droites \((QH)\) et \((HB)\) sont perpendiculaires.
-
2)
e)
Montrer que les points \(A,Q,H,B\) sont cocycliques.
EXERCICE 4 : (3 points)
On considère dans \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) l’équation :
\[
(E):\quad y=\frac{a}{b}x-\frac{c}{d},
\]
où \(a,b,c,d\) sont des entiers naturels non nuls vérifiant :
\[
a\wedge b=c\wedge d=1.
\]
-
1) On suppose que l’équation \((E)\) admet une solution \((x_0,y_0)\).
-
1)
a)
Montrer que : \(d\ \text{divise}\ bc\).
-
1)
b)
En déduire que : \(d\ \text{divise}\ b\).
-
2) On suppose que \(d\ \text{divise}\ b\) et on pose : \(b=nd\) où \(n\) est un entier naturel non nul
-
2)
a)
Montrer qu’il existe \((u,v)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) tel que : \(dnu-av=1\).
-
2)
b)
En déduire que l’ensemble des solutions de \((E)\) est :
\[
S=\{(-vcn+bk\ ;\ -ucn+ak)\ /\ k\in\mathbb{Z}\}.
\]
3)
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) l’équation :
\[
(F):\quad y=\frac{3}{2975}x-\frac{2}{119}.
\]
(On donne : \(2975=119\times 25\).)
EXERCICE 5 : (3.5 points)
On rappelle que \(\big(M_3(\mathbb{R}),+,\times\big)\) est un anneau unitaire non commutatif,
de zéro la matrice
\(
O=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}
\)
et d’unité la matrice
\(
I=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
\)
On munit l’ensemble \(E=\{x+yi\ /\ x\in\mathbb{Z},\ y\in\mathbb{Z}\}\) par la loi interne \(*\)
définie par :
\[
\forall (x,y,x',y')\in\mathbb{Z}^4,\quad
(x+yi)*(x'+y'i)=\big(x+(-1)^y x'\big)+\big(y+y'\big)i.
\]
Partie I
-
1)
a)
Vérifier que : \((1-i)*(3+2i)=-2+i\).
-
1)
b)
Montrer que la loi \(*\) n’est pas commutative dans \(E\).
-
2)
Montrer que la loi \(*\) est associative dans \(E\).
-
3)
Montrer que \(0\) est l’élément neutre pour \(*\) dans \(E\).
-
4)
a)
Vérifier que :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2,\quad (x+yi)*\big((-1)^{y+1}x-yi\big)=0.
\]
-
4)
b)
Montrer que \((E,*)\) est un groupe non commutatif.
Partie II
Soient :
\[
F=\{x+2yi\ /\ x\in\mathbb{Z},\ y\in\mathbb{Z}\}
\quad\text{et}\quad
G=\left\{M(x,y)=\begin{pmatrix}
1&x&y\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\ /\ x\in\mathbb{Z},\ y\in\mathbb{Z}\right\}.
\]
-
1)
a)
Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\).
-
1)
b)
Montrer que la loi \(*\) est commutative dans \(F\).
Soit \(\varphi\) l’application définie de \(F\) vers \(M_3(\mathbb{R})\) par :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2,\quad \varphi(x+2yi)=M(x,y).
\]
-
2)
a)
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((F,*)\) vers \((M_3(\mathbb{R}),\times)\).
-
2)
b)
Montrer que \(\varphi(F)=G\).
-
2)
c)
En déduire que \((G,\times)\) est un groupe commutatif.