Cours : Limites et Continuité

$\displaystyle \lim_{x\to 0} kx^n = 0 ; \lim_{x\to 0} k\sqrt{x} = 0$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} k(x-x_0)^n = 0 ; \lim_{x\to x_0} k\sqrt{|x-x_0|}=0$
$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}=+\infty ; \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^n}=+\infty$ si $n$ est pair
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^n}=-\infty$ si $n$ est impair

Proposition 2

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \mathbb{R}$.

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^n=+\infty ; \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n=+\infty$ si $n$ est pair
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n=-\infty$ si $n$ est impair
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{k}{x^n}=0 ; \lim_{x\to -\infty} \frac{k}{x^n}=0$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{k}{\sqrt{x}}=0 ; \lim_{x\to -\infty} \frac{k}{\sqrt{-x}}=0$

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Remarques

La limite d’une fonction en un point est une notion locale.
En posant $x = x_0 + h$, on a :
$\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell \iff \lim_{h\to 0} f(x_0+h)=\ell$
Si une limite existe, elle est unique.
On a :
$\lim_{x\to x_0^+} \frac{1}{x-x_0}=+\infty
;

\lim_{x\to x_0^-} \frac{1}{x-x_0}=-\infty$

$\lim_{x\to x_0} \frac{1}{(x-x_0)^2}=+\infty$

Exemple :

Soit la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ On a :
\[\lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x-1}=+\infty\]

et

\[\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1}=-\infty\]
On a :
\[\lim_{x\to 3} \frac{1}{(x-3)^2}=+\infty\]

car $(x-3)^2>0$ au voisinage de $3$.

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1.2 Limites des fonctions usuelles

Proposition 3

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes et $x_0 \in \mathbb{R}$.

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} P(x)=P(x_0)$
Si $Q(x_0)\neq 0$ : $
\lim_{x\to x_0} \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}

$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \cos x = \cos x_0$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}$ (si $x_0 \geq 0$)
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}=1$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

Exemple :

Soit $P(x)=x^2-3x+1$. Alors :
\[\lim_{x\to 2} P(x)=P(2)=4-6+1=-1\]
Soit :
\[f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+2}\]

Alors :

\[\lim_{x\to 1} \dfrac{x^2+1}{x+2}
=

\dfrac{1^2+1}{1+2}

=

\dfrac{2}{3}\]
\[\lim_{x\to \pi} \sin x=\sin(\pi)=0\]
\[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \cos x
=

\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\]
\[\lim_{x\to 4} \sqrt{x}=\sqrt{4}=2\]
\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\]
\[\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}=1\]
\[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\]

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1.3 Opérations sur les limites finies

Proposition 4

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que :

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell

;

\lim_{x\to x_0} g(x)=\ell'\]

Alors :

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} (f+g)(x)=\ell+\ell'$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} (fg)(x)=\ell \ell'$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} |f(x)|=|\ell|$
Si $\ell' \neq 0$ : $
\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\ell}{\ell'}

$
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} kf(x)=k\ell$
Si $\ell \geq 0$ : $
\lim_{x\to x_0} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\ell}

$

Exemple :

Soient les fonctions :

\[f(x)=x+1

;

g(x)=x^2\]

On a :

\[\lim_{x\to 2} f(x)=3

;

\lim_{x\to 2} g(x)=4\]

[]
\[\lim_{x\to 2} (f+g)(x)
=

3+4=7\]
[]
\[\lim_{x\to 2} (fg)(x)
=

3\times4=12\]
[]
\[\lim_{x\to 2} |x-5|
=

|-3|=3\]
[]
\[\lim_{x\to 2} \dfrac{x+1}{x^2}
=

\dfrac{3}{4}\]
[]
\[\lim_{x\to 4} \sqrt{x+5}
=

\sqrt{9}=3\]

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Remarque

Ces résultats restent valables quand $x$ tend vers $+\infty$, $-\infty$, ou vers $x_0$ à droite ou à gauche.

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1.4 Opérations sur les limites infinies

On admet toutes les opérations suivantes.

\[\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0\times \infty\]

sont des formes indéterminées.

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1.5 Limites et ordre

Proposition 6

Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions numériques définies sur un intervalle $I$ et $\ell \in \mathbb{R}$.

Si $f(x)\geq g(x)$ au voisinage de $x_0$ et $\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=+\infty$, alors :
\[\lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty\]
Si $f(x)\leq g(x)$ au voisinage de $x_0$ et $\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=-\infty$, alors :
\[\lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty\]
Si $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ au voisinage de $x_0$ et $
\lim_{x\to x_0} h(x)=\lim_{x\to x_0} g(x)=\ell

$

alors :

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\]
Si $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ au voisinage de $x_0$ et $
\lim_{x\to x_0} g(x)=0

$

alors :

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\]

Remarque

Les résultats de cette proposition restent valables quand $x$ tend vers $x_0$ à droite ou à gauche, ou vers $+\infty$ ou $-\infty$.

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II. Continuité d’une fonction numérique

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2.1 Continuité d’une fonction en un point

Définition 1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.

On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_0$ si :

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).\]

Interprétation graphique

Dire que $f$ est continue au point $x_0$ signifie que la courbe représentative de $f$

ne présente ni trou ni saut au point $M_0(x_0,f(x_0))$.

Remarque

Si la fonction $f$ est définie au point $x_0$ et n’admet pas de limite en $x_0$,

ou si sa limite en $x_0$ est infinie, alors $f$ est discontinue au point $x_0$.

Exemple :

Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
La fonction $f:x\mapsto x^n$ est continue en $0$ car :
$
\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} x^n=0=f(0).

$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x^2-6x+5}{x-1} & \text{si } x\neq 1,
[6pt]

-4 & \text{si } x=1.

\end{cases}\]

Montrons que $f$ est continue au point $x_0=1$ :

\[\lim_{x\to 1} f(x)
=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-5)}{x-1}

=\lim_{x\to 1}(x-5)

=-4.\]

Donc :

\[\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).\]

Par suite, la fonction $f$ est continue au point $x_0=1$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :
\[g(x)=
\begin{cases}

\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2x}}{x-\sqrt{x}} & \text{si } x\neq 1,
[8pt]

m & \text{si } x=1,

\end{cases}

\text{où } m\in\mathbb{R}.\]

Déterminons la valeur de $m$ pour que $g$ soit continue en $1$.

Pour $x\in ]0,+\infty[\setminus\{1\}$, on a :

\[g(x)=
\frac{(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2x})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})(x+\sqrt{x})}

{(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})}.\]

Donc :

\[g(x)=
\frac{(1+x^2-2x)(x+\sqrt{x})}{(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})(x^2-x)}

=

\frac{(x-1)^2(x+\sqrt{x})}{(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})x(x-1)}.\]

Ainsi :

\[g(x)=\frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})}.\]

D’où :

\[\lim_{x\to 1} g(x)
=

\lim_{x\to 1}

\frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})}

=0.\]

Pour que $g$ soit continue en $1$, il faut et il suffit que

\[g(1)=\lim_{x\to 1}g(x),\]

c’est-à-dire :

\[m=0.\]

Exercice d'application :

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_0$ :
\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{-2x^2-x+1}{x+1} & \text{si } x\neq -1,
[6pt]

1 & \text{si } x=-1,

\end{cases}

x_0=-1\]

\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x+\tan(2x)}{\sin(3x)} & \text{si } x\neq 0,
[6pt]

1 & \text{si } x=0,

\end{cases}

x_0=0\]

\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} & \text{si } x\neq 1,
[8pt]

\dfrac{3}{4} & \text{si } x=1,

\end{cases}

x_0=1\]

\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{\sin x}{\sqrt{x+1}-1} & \text{si } x\neq 0,
[8pt]

2 & \text{si } x=0,

\end{cases}

x_0=0\]
Soit $g$ la fonction définie par :
\[g(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-4} & \text{si } x\neq 2,
[8pt]

\lambda & \text{si } x=2,

\end{cases}

\lambda\in\mathbb{R}.\]

Déterminer la valeur du réel $\lambda$ pour que la fonction $g$ soit continue au point $x_0=2$.

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2.2 Continuité à droite -- Continuité à gauche

Définition 2

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0,x_0+\alpha[$ où $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$.
On dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si :

\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0).\]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]x_0-\alpha,x_0]$ où $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$.
On dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si :

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0).\]

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie par :
\[f(x)=
\begin{cases}

3-x^2 & \text{si } x\leq 0,
[6pt]

\dfrac{x^2-3}{2x-1} & \text{si } x>0.

\end{cases}\]

Étudions la continuité à droite et à gauche au point $x_0=0$.

On a :

\[f(0)=3.\]

De plus :

\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2-3}{2x-1}=3=f(0).\]

Donc $f$ est continue à droite en $0$.

De même :

\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(3-x^2)=3=f(0).\]

Donc $f$ est continue à gauche en $0$.
Soit $g$ la fonction définie par :
\[g(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x^2-1}{|x-1|} & \text{si } x\neq 1,
[8pt]

2 & \text{si } x=1.

\end{cases}\]

Étudions la continuité à droite et à gauche de $g$ au point $x_0=1$.

À droite :

\[\lim_{x\to 1^+}g(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}
=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=2.\]

Donc :

\[\lim_{x\to 1^+}g(x)=g(1),\]

et la fonction $g$ est continue à droite au point $x_0=1$.

À gauche :

\[\lim_{x\to 1^-}g(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{-(x-1)}
=\lim_{x\to 1^-}(-x-1)=-2.\]

Donc :

\[\lim_{x\to 1^-}g(x)\neq g(1),\]

et la fonction $g$ n’est pas continue à gauche au point $x_0=1$.

Proposition 7

Une fonction numérique $f$ est continue au point $x_0$ si, et seulement si,

elle est continue à droite et à gauche au point $x_0$.

En d’autres termes :

\[f \text{ est continue au point } x_0

\iff

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0).\]

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x)=

\begin{cases}

\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{si } x>0,
[10pt]

\dfrac{\cos x+\sin x-1}{4x} & \text{si } x<0,
[10pt]

\dfrac{1}{4} & \text{si } x=0.

\end{cases}\]

Montrons que $f$ est continue en $0$.

Continuité à droite en $0$ :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)
=

\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}

=

\lim_{x\to 0^+}

\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\]

\[=
\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}

=

\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}

=\frac{1}{4}.\]

Donc :

\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0).\]
Continuité à gauche en $0$ :
\[\lim_{x\to 0^-}f(x)
=

\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos x+\sin x-1}{4x}

=

\lim_{x\to 0^-}

\left(

\frac{\sin x}{4x}-\frac{1-\cos x}{4x}

\right)\]

\[=
\lim_{x\to 0^-}

\left(

\frac{1}{4}\cdot \frac{\sin x}{x}

-

\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x

\right)

=

\frac14 \times 1 - \frac14 \times \frac12 \times 0

=\frac14.\]

Donc :

\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0).\]

Puisque $f$ est continue à droite et à gauche en $0$, alors elle est continue en ce point.

Exercice d'application :

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_0$ :
\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x}{x+1} & \text{si } x\leq 0,
[8pt]

\dfrac{x^2-x}{x+3} & \text{si } x>0,

\end{cases}

x_0=0\]

\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x^3-7x-6}{|x-3|} & \text{si } x\neq 3,
[8pt]

20 & \text{si } x=3,

\end{cases}

x_0=3\]

\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x^2+5x+6}{x^3+8} & \text{si } x>-2,
[10pt]

\dfrac{\sqrt{x+6}-2}{x+2} & \text{si } -6\leq x<-2,
[10pt]

\dfrac14 & \text{si } x=-2,

\end{cases}

x_0=-2\]
Déterminer les deux réels $a$ et $b$ pour que la fonction $
f(x)=

\begin{cases}

\dfrac{x^2+x-a}{x-1} & \text{si } x<1,\
\[8pt]

x^2+b & \text{si } x\geq 1

\end{cases}

$

soit continue au point $x_0=1$.

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2.3 Continuité d’une fonction sur un intervalle

Définition 3

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$. En particulier, $f$ est continue sur $]a,b[$ si elle est continue en tout point de $]a,b[$.

Une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$,

continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.

Une fonction $f$ est continue sur $[a,b[$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à droite en $a$.

Une fonction $f$ est continue sur $]a,b]$ si elle est continue sur $]a,b[$ et continue à gauche en $b$.

Exemple :

Toute fonction constante est continue sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x_0\in\mathbb{R}$ : \[
\lim_{x\to x_0}P(x)=P(x_0).\]

Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.

Les fonctions $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.

La fonction $x\mapsto \tan x$ est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}_+$.

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2.5 Opérations sur les fonctions continues

Proposition 9

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k\in\mathbb{R}$.

Alors :

Les fonctions $f+g$, $kf$ et $f\cdot g$ sont continues sur $I$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, la fonction $
f^n:x\mapsto (f(x))^n

$

est continue sur $I$.
Si la fonction $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors $
\dfrac1g \text{et} \dfrac{f}{g}

$

sont continues sur $I$.
La fonction $|f|$ est continue sur $I$.
Si la fonction $f$ est positive sur $I$, alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$.

Exemple :

La fonction $
f(x)=x^2+5x+\cos x

$

est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x\mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction $
g(x)=\sqrt{x}(x^3+5x-7)

$

est continue sur $\mathbb{R}_+$ en tant que produit de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}_+$.
On considère la fonction $
h(x)=\dfrac{x^2-2x+3}{2|x+1|-5}.

$

Étudions la continuité de $h$ sur $D_h$.

On a d’abord :

\[D_h=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac72,\frac32\right\}
=

]-\infty,-\frac72[ \cup ]-\frac72,\frac32[ \cup ]\frac32,+\infty[.\]

Posons :

\[u(x)=x^2-2x+3
\text{et}

v(x)=2|x+1|-5.\]

La fonction $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynomiale.

La fonction $v$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que somme et composée de fonctions continues.

De plus, $v$ ne s’annule pas sur $D_h$.

Par suite, la fonction $h$ est continue sur tout intervalle inclus dans $D_h$.
On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=
\begin{cases}

x^2+2x-\dfrac52 & \text{si } x\leq -3,
[8pt]

\dfrac{\sqrt{2x+10}-2}{x+3} & \text{si } x>-3.

\end{cases}\]

Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- Continuité au point $x_0=-3$ :
  On a :
  
  \[f(-3)=(-3)^2+2(-3)-\frac52=\frac12.\]
  
  Calculons les limites à gauche et à droite :
  
  \[\lim_{x\to -3^-}f(x)=\lim_{x\to -3^-}\left(x^2+2x-\frac52\right)=\frac12.\]
  
  \[\lim_{x\to -3^+}f(x)
  =
  
  \lim_{x\to -3^+}\frac{\sqrt{2x+10}-2}{x+3}
  
  =
  
  \lim_{x\to -3^+}\frac{2(x+3)}{(x+3)(\sqrt{2x+10}+2)}\]
  
  \[=
  \lim_{x\to -3^+}\frac{2}{\sqrt{2x+10}+2}
  
  =\frac12.\]
  
  Donc :
  
  \[\lim_{x\to -3^-}f(x)=\lim_{x\to -3^+}f(x)=f(-3),\]
  
  et la fonction $f$ est continue au point $x_0=-3$.
- \textbf{Continuité sur $\mathbb{R}$ :}
  La fonction $x\mapsto x^2+2x-\dfrac52$ est continue sur $]-\infty,-3]$.
  
  La fonction $x\mapsto 2x+10$ est continue et positive sur $]-3,+\infty[$, donc
  $x\mapsto \sqrt{2x+10}-2$ est continue sur cet intervalle.
  La fonction $x\mapsto x+3$ est continue et ne s’annule pas sur $]-3,+\infty[$.
  
  Donc la fonction
  $
  x\mapsto \frac{\sqrt{2x+10}-2}{x+3}
  
  $
  
  est continue sur $]-3,+\infty[$.
  
  Comme $f$ est continue en $-3$ et sur chacun des intervalles $]-\infty,-3]$ et $]-3,+\infty[$,
  
  alors elle est continue sur $\mathbb{R}$.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :
\[f(x)=
\begin{cases}

\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-1} & \text{si } x\neq 1,
[8pt]

\dfrac32 & \text{si } x=1.

\end{cases}\]

Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Continuité en $1$ :
  \[\lim_{x\to 1}f(x)
  =
  
  \lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x}-1}{x-1}
  
  =
  
  \lim_{x\to 1}\frac{(x\sqrt{x})^2-1}{(x-1)(x\sqrt{x}+1)}\]
  
  \[=
  \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{(x-1)(x\sqrt{x}+1)}
  
  =
  
  \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x\sqrt{x}+1)}\]
  
  \[=
  \lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}
  
  =\frac32.\]
  
  Donc :
  
  \[\lim_{x\to 1}f(x)=f(1).\]
- \textbf{Continuité sur $\mathbb{R}_+^*$ :}
  La fonction $x\mapsto x\sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$, donc
  $x\mapsto x\sqrt{x}-1$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
  La fonction $x\mapsto x-1$ est continue et ne s’annule pas sur $\mathbb{R}_+^*\setminus\{1\}$.
  
  Ainsi $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*\setminus\{1\}$, et comme elle est continue en $1$,
  
  alors elle est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.

Exercice d'application :

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition :
\[\text{a)} f(x)=\left(\frac{4x+5}{x^2+3}\right)\sin x
\text{b)} f(x)=|2x-3|+\frac{x+1}{x^2+x+1}\]
Soit $g$ la fonction définie par : $
g(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{4-x}.

$

Montrer que $g$ est continue sur l’intervalle $[2,4[$.
Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ pour lesquels la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f(x)=
\begin{cases}

a^2x+3 & \text{si } x<1,
[8pt]

\dfrac{-b^2x+8}{2x-1} & \text{si } 1\leq x\leq 3,
[10pt]

\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{b^2}{5}x+ab & \text{si } x>3

\end{cases}\]

est continue sur $\mathbb{R}$.

% ==================================================

2.6 Continuité de la composée de deux fonctions

Proposition 10

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que

\[f(I)\subset J,\]

et soit $x_0\in I$.

Si $f$ est continue au point $x_0$ et $g$ est continue au point $f(x_0)$,

alors la fonction $g\circ f$ est continue en $x_0$.

Corollaire

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que

\[f(I)\subset J,\]

alors la fonction $g\circ f$ est continue sur l’intervalle $I$.

Exercice d'application :

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ sur les intervalles de $D_f$ :

\[1) f(x)=\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}\]

\[2) f(x)=\sqrt{2|x|-3}\]

% ==================================================

III. Image d’un intervalle par une fonction continue

% ==================================================

3.1 Image d’un segment par une fonction continue

Proposition 11

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Autrement dit :

\[\Big(f \text{ est continue sur } [a,b]\Big)\Longrightarrow f([a,b])=[m,M]\]

où $m$ est le minimum de $f$ sur $[a,b]$ et $M$ son maximum sur $[a,b]$.

Remarque

Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, alors il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :

\[f([a,b])=[m,M].\]

En particulier, $M$ est le maximum de $f$ sur $[a,b]$ et $m$ est le minimum de $f$ sur $[a,b]$.

Proposition 12

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x)=x^2-2x.\]

Figure / graphique du cours original

À partir du graphe de la fonction $f$, on déduit que :

\[f([-1,2])=[-1,3]

;

f([0,2])=[-1,0]\]

\[f(]-1,0])=[0,3[

;

f([2,+\infty[)=[0,+\infty[\]

\[f(]-\infty,1])=[-1,+\infty[

;

f(\mathbb{R})=[-1,+\infty[.\]

Exerice d'application:

Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction numérique $f$ est continue sur l’intervalle $I$ puis déterminer $f(I)$ :

$\displaystyle f(x)=x^2+2 \text{et} I=[-1,3]$
$\displaystyle f(x)=\frac{x-4}{x-2} \text{et} I=[5,8]$
$\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1} \text{et} I=[3,5]$
$\displaystyle
f(x)=

\begin{cases}

x+3 & \text{si } x\leq 2,

x^2+1 & \text{si } x>2

\end{cases}

\text{et} I=[-3,5]$

Remarques

La continuité d’une fonction est une condition suffisante pour que l’image d’un intervalle soit un intervalle, mais elle n’est pas nécessaire.
Les intervalles $I$ et $f(I)$ ne sont pas toujours de même nature.

% ==================================================

3.2 Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.

On a alors les résultats suivants :

\[\renewcommand{\arraystretch}{2}

\begin{array}{|c|c|c|}

\hline

\text{Intervalle } I & f \text{ strictement croissante sur } I & f \text{ strictement décroissante sur } I

\hline

[a,b] & [f(a),f(b)] & [f(b),f(a)]

\hline

]a,b[ & ]\lim\limits_{x\to a^+}f(x),\lim\limits_{x\to b^-}f(x)[ &

]\lim\limits_{x\to b^-}f(x),\lim\limits_{x\to a^+}f(x)[

\hline

[a,b[ & [f(a),\lim\limits_{x\to b^-}f(x)[ &

]\lim\limits_{x\to b^-}f(x),f(a)]

\hline

]-\infty,a] & ]\lim\limits_{x\to -\infty}f(x),f(a)] &

[f(a),\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)[

\hline

]a,+\infty[ & ]\lim\limits_{x\to a^+}f(x),\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)[ &

]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x),\lim\limits_{x\to a^+}f(x)[

\hline

\mathbb{R} & ]\lim\limits_{x\to -\infty}f(x),\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)[ &

]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x),\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)[

\hline

\end{array}\]

Exemple :

On considère la fonction numérique $f$ définie par :
\[f(x)=\frac{2x-3}{x+1}.\]

L’ensemble de définition de $f$ est :

\[D_f=]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[.\]

On a :

\[\left|\begin{matrix}
2 & -3

1 & 1

\end{matrix}\right|=2+3=5>0.\]

Donc la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur chacun des intervalles
$]-\infty,-1[$ et $]-1,+\infty[$.
Il en découle :

\[f([0,1])=[f(0),f(1)]=\left[-3,-\frac12\right]\]

\[f(]-1,1])=\left]\lim_{x\to -1^+}f(x),f(1)\right]
=\left]-\infty,-\frac12\right]\]

\[f([-2,-1[)=\left[f(-2),\lim_{x\to -1^-}f(x)\right[
=[7,+\infty[\]

\[f([2,+\infty[)=\left[f(2),\lim_{x\to +\infty}f(x)\right[
=\left[\frac13,2\right[.\]
Soit $f$ une fonction continue sur les deux intervalles $]-\infty,2[$ et $]2,+\infty[$
et dont le tableau de variations est donné.

Déterminons les images des intervalles suivants :

\[]-\infty,-3] ; [-3,2[ ; ]2,4] ; ]4,+\infty[\]

On obtient :

\[f(]-\infty,-3])=]\lim_{x\to -\infty}f(x),f(-3)]=]-\infty,3]\]

\[f([-3,2[)=]\lim_{x\to 2^-}f(x),f(-3)]=]-\infty,3]\]

\[f(]2,4])=]\lim_{x\to 2^+}f(x),f(4)]=]-\infty,2]\]

\[f(]4,+\infty[)=]\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to 4^+}f(x)[=]1,2[.\]

Exercice d'application :

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x)=x^2-2x+3.\]

Déterminer les images des intervalles suivants par la fonction $f$ :

\[I=]-\infty,0]

;

J=[1,2]

;

K=]-5,-1[

;

L=[\sqrt{2},+\infty[.\]

% ==================================================

3.3 Théorème des valeurs intermédiaires

Proposition 13

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, alors pour tout réel $\lambda$

compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que :

\[f(c)=\lambda.\]

En d’autres termes : l’équation $f(x)=\lambda$ d’inconnue $x$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.

Corollaire

Si la fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ telle que

\[f(a)\times f(b)<0,\]

alors l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $[a,b]$.

Si de plus la fonction $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Remarque

Si la fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires,

alors la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l’axe des abscisses au moins une fois en un point

dont l’abscisse appartient à $[a,b]$.

Exemple :

Montrons que l’équation $
8x^3-6x-1=0

$

admet une solution dans chacun des intervalles :
$
]-1,-\frac12[ ; ]-\frac12,0[ ; ]0,1[.

$

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[g(x)=8x^3-6x-1.\]

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynomiale.
- $g(-1)=-3$ et $g\left(-\frac12\right)=1$, donc
  \[g(-1)g\left(-\frac12\right)<0.\]
  
  Donc l’équation $g(x)=0$ admet une solution dans l’intervalle $]-1,-\frac12[$.
- $g\left(-\frac12\right)=1$ et $g(0)=-1$, donc
  \[g\left(-\frac12\right)g(0)<0.\]
  
  Donc l’équation $g(x)=0$ admet une solution dans l’intervalle $]-\frac12,0[$.
- $g(0)=-1$ et $g(1)=1$, donc
  \[g(0)g(1)<0.\]
  
  Donc l’équation $g(x)=0$ admet une solution dans l’intervalle $]0,1[$.

% ==================================================

3.4 Principe de la méthode de dichotomie

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ telle que l’équation

f(x)=0

admette une solution unique $\alpha$ dans $[a,b]$.

Pour déterminer un encadrement du nombre $\alpha$, on commence par localiser la racine

entre les réels $a$ et $b$ avec

a<\alpha

On calcule ensuite le centre $m$ du segment $[a,b]$, à savoir :

m=\dfrac{a+b}{2}.

Puis on calcule $f(m)$ et on compare son signe à $0$.

Deux cas peuvent alors se produire :

Si $f(m)<0$, alors la solution est dans l’intervalle $]m,b[$.
Si $f(m)>0$, alors la solution est dans l’intervalle $]a,m[$.

On recommence ensuite le procédé sur le nouvel intervalle obtenu.

Exemple :

Soit la fonction numérique définie par :

f(x)=x^3+x^2+x-2.

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$ et on a

f(0)f(1)<0.

Donc l’équation

\[f(x)=0\]

admet une solution unique $\alpha$ telle que

\[0<\alpha<1.\]

Déterminons un encadrement de $\alpha$ de longueur $0{,}25$.

Le centre de $[0,1]$ est $\dfrac12$ et :

\[f\left(\frac12\right)=-\frac98.\]

Donc :

\[f\left(\frac12\right)f(1)<0

\Longrightarrow

\frac12<\alpha<1.\]

Le centre de $\left[\frac12,1\right]$ est $\dfrac34$ et :

\[f\left(\frac34\right)=\frac{17}{64}>0.\]

Donc :

\[f\left(\frac12\right)f\left(\frac34\right)<0

\Longrightarrow

\frac12<\alpha<\frac34.\]

Ainsi, on obtient un encadrement de longueur

\[\frac34-\frac12=\frac14=0{,}25.\]

Donc :

\[\boxed{\frac12<\alpha<\frac34}\]

% ==================================================

IV. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone

% ==================================================

4.1 Théorème de la fonction réciproque

Proposition 14

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit

J=f(I).

Pour tout $y\in J$, l’équation

f(x)=y

admet une solution unique $x$ dans l’intervalle $I$.

La fonction qui, à chaque élément $y$ de $J$, associe l’unique élément $x$ de $I$ tel que

f(x)=y

est appelée fonction réciproque de la fonction $f$ et est notée

f^{-1}.

Remarques

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $J=f(I)$, et si $f^{-1}$ est la fonction réciproque de $f$, alors :
\[\left\{
\begin{array}{l}

y=f^{-1}(x)

x\in J

\end{array}

\right.

\iff

\left\{

\begin{array}{l}

f(y)=x

y\in I

\end{array}

\right.\]
Pour tout $x\in J$ :
\[f\circ f^{-1}(x)=x\]
Pour tout $x\in I$ :
\[f^{-1}\circ f(x)=x\]
Si $0\in J$, alors l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $I$ ; c’est le réel
\[f^{-1}(0).\]

Exemple :

Soit $f$ la fonction numérique définie sur

\[I=]-\infty,-1]\]

par :

\[f(x)=\frac{x^2+5}{x-2}.\]

Montrons que la fonction $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

La fonction $f$ est continue et dérivable sur $I$ car c’est la restriction d’une fonction rationnelle.

De plus, pour tout $x\in I$ :

\[f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+5)}{(x-2)^2}

=\frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}

=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-2)^2}.\]

Or sur $]-\infty,-1]$, on a :

\[f'(x)\geq 0.\]

Donc $f$ est continue et strictement croissante sur $I$, elle admet donc une fonction réciproque définie sur

\[J=f(I)=]\lim_{x\to -\infty}f(x),f(-1)]

=]-\infty,-2].\]

Détermination de $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$ :

Soit $x\in J$ et $y\in I$ tels que :

\[y=f^{-1}(x).\]

Alors :

\[x=f(y)=\frac{y^2+5}{y-2}

\iff y^2-xy+2x+5=0.\]

Le discriminant de cette équation en $y$ est :

\[\Delta=x^2-8x-20.\]

Puisque $\Delta\geq 0$, on obtient :

\[y_1=\frac{x-\sqrt{x^2-8x-20}}{2}

\text{et}

y_2=\frac{x+\sqrt{x^2-8x-20}}{2}.\]

Comme $y\in I=]-\infty,-1]$, on retient :

\[\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-\sqrt{x^2-8x-20}}{2}}

(x\in J).\]

Exercice d'application :

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer une expression de $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$ :

$\displaystyle f(x)=x^2-2x+5 \text{et} I=[1,+\infty[$
$\displaystyle f(x)=4x-x^2 \text{et} I=]-\infty,2]$
$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-x}-x \text{et} I=]0,+\infty[$
$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2} \text{et} I=[0,\sqrt{2}]$

% ==================================================

4.2 Propriétés de la fonction réciproque

Proposition 15

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :

La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$ et a le même sens de variation que la fonction $f$.
Les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$, dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation
\[y=x.\]

Figure / graphique du cours original

% ==================================================

V. Fonction racine $n$-ième -- Puissance rationnelle

% ==================================================

5.1 Fonction racine $n$-ième

Soit $n$ un entier naturel non nul.

La fonction

f:x\mapsto x^n

est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ ; donc elle admet une fonction réciproque définie sur

f(\mathbb{R}_+)=[f(0),\lim_{x\to +\infty}f(x)[=\mathbb{R}_+.

Définition 5

Soit $n$ un entier naturel non nul.

La fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $x\mapsto x^n$ admet une fonction réciproque définie sur $\mathbb{R}_+$.

Cette fonction est appelée fonction racine $n$-ième et est notée

\[\sqrt[n]{x}.\]

Pour tout $x\in\mathbb{R}_+$, $\sqrt[n]{x}$ se lit : « racine $n$-ième du réel positif $x$ ».

Proposition 16

Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors :

Pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}_+$ :
\[\sqrt[n]{x}=y \iff y^n=x\]

\[\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y} \iff x=y\]

\[\sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y} \iff x
Pour tout $x\in\mathbb{R}_+$ :
\[\sqrt[n]{x^n}=x
\text{et}

\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x\]
La fonction $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et de plus :
\[\lim_{x\to +\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty.\]

Figure / graphique du cours original

Remarques

Pour tout réel positif $x$ :
\[\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}.\]
La fonction $x\mapsto \sqrt[3]{x}$ est appelée fonction racine cubique.
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs.
L’expression conjuguée de $\sqrt[3]{a}-b$ est :

\[(\sqrt[3]{a})^2+b\sqrt[3]{a}+b^2.\]

L’expression conjuguée de $\sqrt[4]{a}-b$ est :

\[(\sqrt[4]{a})^3+b(\sqrt[4]{a})^2+b^2\sqrt[4]{a}+b^3.\]
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $x\in[0,1]$ :
\[x^n\leq x\leq \sqrt[n]{x}.\]
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $x\in[1,+\infty[$ :
\[\sqrt[n]{x}\leq x\leq x^n.\]
Pour tous réels positifs $x$ et $y$, le signe de
\[\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}\]

est celui de

\[x-y.\]

Proposition 17

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs, et $n$ et $p$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$.

On a les propriétés suivantes :

\[\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}

;

\sqrt[n]{\frac1a}=\frac1{\sqrt[n]{a}}\]

\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

;

\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}\]

\[\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[np]{a}

;

\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}.\]

Exercie d'application :

Simplifions le nombre :
\[A=\frac{\sqrt[4]{32}\times \sqrt[6]{27}\times \sqrt[4]{108}}{\sqrt[4]{144}}.\]
Classons les nombres $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{2}$ et $\sqrt[6]{10}$ par ordre croissant.
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équation :
\[(E): \sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=\sqrt[3]{2}.\]
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’inéquation :
\[\sqrt[3]{x+1}<2.\]

Proposition 18

Soit $u$ une fonction positive sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$.

Si $u$ est continue sur $I$ alors la fonction $\sqrt[n]{u}$ est continue sur $I$.
Si $\lim_{x\to x_0}u(x)=\ell$ alors
\[\lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{u(x)}=\sqrt[n]{\ell}.\]
Si $\lim_{x\to x_0}u(x)=+\infty$ alors
\[\lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{u(x)}=+\infty.\]

Exercice d'application :

Calculons la limite :
\[\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}.\]
Calculons la limite :
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x}-2x\right).\]
Calculons la limite :
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+2}-x+5\right).\]
Calculons la limite :
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt{x+1}}.\]

% ==================================================

5.2 Puissance rationnelle d’un nombre strictement positif

Définition 6

Soit $a$ un réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel.

On pose

\[r=\frac{p}{q}

\text{avec } p\in \mathbb{Z},\ q\in\mathbb{N}^*.\]

Le nombre

a^r

est le nombre

\sqrt[q]{a^p}.

Ce nombre est appelé puissance rationnelle du nombre $a$ d’exposant $r$.

Remarque

Soit $a$ un réel strictement positif et $n\in\mathbb{N}^*-\{1\}$.

On a :

\[\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}=a^{1/2}

\text{et}

\sqrt[3]{a}=a^{1/3}.\]

De façon générale :

\[\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.\]

Proposition 19

Soient $r$ et $r'$ deux nombres rationnels, et $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Alors :

\[a^r\times a^{r'}=a^{r+r'}

;

(ab)^r=a^rb^r\]

\[(a^r)^{r'}=a^{rr'}

;

a^{-r}=\frac1{a^r}\]

\[\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}

;

\frac{a^r}{a^{r'}}=a^{r-r'}.\]

Exemple :

Simplifions le nombre :

\[A=\frac{\sqrt[4]{32}\times \sqrt[6]{27}\times \sqrt[4]{108}}{\sqrt[4]{6}}.\]

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Cours : Limites et Continuité

I. Limite d’une fonction en un point (Rappels)

1.1 Limites usuelles

Proposition 1

Proposition 2

Remarques

Exemple :

1.2 Limites des fonctions usuelles

Proposition 3

Exemple :

1.3 Opérations sur les limites finies

Proposition 4

Exemple :

Remarque

1.4 Opérations sur les limites infinies

1.5 Limites et ordre

Proposition 6

Remarque

II. Continuité d’une fonction numérique

2.1 Continuité d’une fonction en un point

Définition 1

Interprétation graphique

Remarque

Exemple :

Exercice d'application :

2.2 Continuité à droite -- Continuité à gauche

Définition 2

Exemple :

Proposition 7

Exemple :

Exercice d'application :

2.3 Continuité d’une fonction sur un intervalle

Définition 3

Exemple :

2.5 Opérations sur les fonctions continues

Proposition 9

Exemple :

Exercice d'application :

2.6 Continuité de la composée de deux fonctions

Proposition 10

Corollaire

Exercice d'application :

III. Image d’un intervalle par une fonction continue

3.1 Image d’un segment par une fonction continue

Proposition 11

Remarque

Proposition 12

Exemple

Exerice d'application:

Remarques

3.2 Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

Exemple :

Exercice d'application :

3.3 Théorème des valeurs intermédiaires

Proposition 13

Corollaire

Remarque

Exemple :

3.4 Principe de la méthode de dichotomie

Exemple :

IV. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone

4.1 Théorème de la fonction réciproque

Proposition 14

Remarques

Exemple :

Exercice d'application :

4.2 Propriétés de la fonction réciproque

Proposition 15

V. Fonction racine \(n\)-ième -- Puissance rationnelle

5.1 Fonction racine \(n\)-ième

Définition 5

Proposition 16

Remarques

Proposition 17

Exercie d'application :

Proposition 18

Exercice d'application :